Complete o quadrado na expressão x^2+4 x+5 e faça a substituição u=x+2 para calcular a integral integral 1x^2+4 x+5 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1x^2+4x+5,dx usando a técnica de completar o quadrado e uma substituição. O conteúdo aqui é integração de função racional por meio de completar o quadrado para obter um formato que leve a uma função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em x^2+4x+5. Observamos que
x^2+4x+5 = (x+2)^2+1
Isso ocorre porque (x+2)^2 = x^2+4x+4, faltando 1 para recuperar o +5 original.

Passo 3

Agora fazemos a substituição u = x+2. Daí du = dx e a integral passa a ser
integral 1(x+2)^2+1,dx = integral 1u^2+1,du

Passo 4

Usamos o fato de que integral 1u^2+1,du = arctan(u)+C.
Por fim, voltamos à variável x: substituindo u = x+2 obtemos a solução da integral.

Resposta

arctan(x+2)+C

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