Calcule as integrais indefinidas abaixo:
2)
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - O número
é uma constante multiplicativa dentro do argumento da função cosseno. - Como é integral indefinida, devemos adicionar a constante de integração
no final.
Passo 2
Lembra do que acontece com derivadas de seno e cosseno: a derivada de
é
. Mais precisamente, pela regra da cadeia, se
então
Aplicando isso ao caso
obtemos
Isto mostra que a presença do fator
dentro do argumento produz um fator
ao derivar.
Passo 3
Para integrar, usamos a “regra inversa” (antiderivada) da regra da cadeia: se
, então uma primitiva de
é
, porque o fator
cancela o
que aparece pela diferenciação. Em geral vale a fórmula útil
onde
é constante.
Passo 4
Para ser bem didático, faço a mudança de variável (substituição) explícita. Defina
Então
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora integramos
em relação a
. Sabemos que
Portanto
Voltando à variável original
(ou seja,
):
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação: calcule
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre que tiver
ou
, lembre que o resultado costuma ser
ou
respectivamente. Exemplos rápidos: