Calcule as integrais indefinidas abaixo:
2) \int \cos 7 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos 7x \, dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos 7x.
  • A variável de integração é x.
  • O número 7 é uma constante multiplicativa dentro do argumento da função cosseno.
  • Como é integral indefinida, devemos adicionar a constante de integração C no final.

Passo 2

Lembra do que acontece com derivadas de seno e cosseno: a derivada de \sin t é \cos t. Mais precisamente, pela regra da cadeia, se t=t(x) então
\frac{d}{dx}\big(\sin(t(x))\big)=t'(x)\cos(t(x)).
Aplicando isso ao caso t(x)=7x obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sin(7x)\big)=7\cos(7x).
Isto mostra que a presença do fator 7 dentro do argumento produz um fator 7 ao derivar.

Passo 3

Para integrar, usamos a “regra inversa” (antiderivada) da regra da cadeia: se \dfrac{d}{dx}\big(\sin(7x)\big)=7\cos(7x), então uma primitiva de \cos(7x) é \dfrac{1}{7}\sin(7x), porque o fator 1/7 cancela o 7 que aparece pela diferenciação. Em geral vale a fórmula útil
\int \cos(a x)\,dx=\frac{1}{a}\sin(a x)+C,
onde a é constante.

Passo 4

Para ser bem didático, faço a mudança de variável (substituição) explícita. Defina
u=7x.
Então
du=7\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{1}{7}\,du.
Substituindo na integral:
\int \cos 7x\,dx=\int \cos u\cdot\frac{1}{7}\,du=\frac{1}{7}\int \cos u\,du.

Passo 5

Agora integramos \cos u em relação a u. Sabemos que
\int \cos u\,du=\sin u + C.
Portanto
\frac{1}{7}\int \cos u\,du=\frac{1}{7}\sin u + C.
Voltando à variável original x (ou seja, u=7x):
\frac{1}{7}\sin u + C=\frac{1}{7}\sin(7x)+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação: calcule
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{7}\sin(7x)+C\right)=\frac{1}{7}\cdot 7\cos(7x)=\cos(7x),
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que tiver \cos(ax) ou \sin(ax), lembre que o resultado costuma ser \dfrac{1}{a}\sin(ax) ou -\dfrac{1}{a}\cos(ax) respectivamente. Exemplos rápidos:
\int \cos(3x)\,dx=\frac{1}{3}\sin(3x)+C, \qquad \int \sin(5x)\,dx=-\frac{1}{5}\cos(5x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{7}\sin(7x)+C

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