Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{4 x^{2}-3 x+3}{\left(x^{2}-2+2\right)(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional dada. Informações e simplificações que extraí do enunciado:
  • A integral é \displaystyle \int \frac{4 x^{2}-3 x+3}{\left(x^{2}-2+2\right)(x+1)}\,dx.
  • Notei que x^{2}-2+2 = x^{2}. Portanto a integral é equivalente a
\displaystyle \int \frac{4x^{2}-3x+3}{x^{2}(x+1)}\,dx.
  • Pontos onde a função não está definida (domínio da integranda): x=0 e x=-1. Isso é útil para lembrar dos \ln|\,\cdot\,| nas primitivas.
  • O que é pedido: encontrar uma primitiva (integral indefinida) da função acima.

Passo 2

Escolha do método: como temos uma razão de polinômios e o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), trata-se de uma fração própria. O método mais prático aqui é decomposição em frações parciais. Explicação curta do método (tipo-aula):
  • Para integrar uma fração racional, quebra-se em parcelas simples cujas primitivas são conhecidas.
  • Como o denominador é x^{2}(x+1), há um fator linear x com multiplicidade 2 e um fator linear distinto x+1. A forma geral da decomposição é:
\frac{4x^{2}-3x+3}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Justificativa: para cada fator linear simples (x+1) usa-se termo \frac{C}{x+1}; para o fator x de multiplicidade 2 usa-se \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}.

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por x^{2}(x+1). Isso gera uma identidade polinomial:
4x^{2}-3x+3 = A\cdot x(x+1) + B\cdot (x+1) + C\cdot x^{2}.
Agora vamos expandir e agrupar termos do lado direito para comparar coeficientes.

Passo 4

Expandir e agrupar:
A\cdot x(x+1) = A x^{2} + A x,
B\cdot (x+1) = B x + B,
C\cdot x^{2} = C x^{2}.
Somando:
A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.
Comparando com o polinômio do lado esquerdo 4x^{2}-3x+3\), obtemos o sistema de equações para os coeficientes: \[\begin{cases} A + C = 4,\\[4pt] A + B = -3,\\[4pt] B = 3. \end{cases}
Da terceira equação vem B=3\]. Substituindo na segunda: \(A + 3 = -3 \Rightarrow A = -6. Substituindo A na primeira: -6 + C = 4 \Rightarrow C = 10.]

Passo 5

Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{4x^{2}-3x+3}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1} =\frac{-6}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{10}{x+1}.
Sempre bom conferir mentalmente: os números parecem coerentes (constante B=3 produz termo constante 3, etc.), mas já podemos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrar termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Em particular \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}+C.
    Aplicando isso:
\int \left(-\frac{6}{x}\right)\,dx = -6\ln|x|,
\int \frac{3}{x^{2}}\,dx = 3\int x^{-2}\,dx = 3\left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{3}{x},
\int \frac{10}{x+1}\,dx = 10\ln|x+1|.

Passo 7

Somando as primitivas parciais e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
-6\ln|x|-\frac{3}{x}+10\ln|x+1|+C.
Explicação final curta: os termos logarítmicos aparecem por integrais de 1/x e 1/(x+1); o termo -3/x aparece por integrar 3/x^{2}. Lembre-se que a constante C é arbitrária e que a primitiva é válida em intervalos onde x\neq 0 e x\neq -1.

Resposta

-6\ln|x|-\dfrac{3}{x}+10\ln|x+1|+C

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