Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função racional dada. Informações e simplificações que extraí do enunciado:
- A integral é
. - Notei que
. Portanto a integral é equivalente a
- Pontos onde a função não está definida (domínio da integranda):
e . Isso é útil para lembrar dos nas primitivas. - O que é pedido: encontrar uma primitiva (integral indefinida) da função acima.
Passo 2
Escolha do método: como temos uma razão de polinômios e o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
), trata-se de uma fração própria. O método mais prático aqui é decomposição em frações parciais. Explicação curta do método (tipo-aula):
- Para integrar uma fração racional, quebra-se em parcelas simples cujas primitivas são conhecidas.
- Como o denominador é
, há um fator linear com multiplicidade e um fator linear distinto . A forma geral da decomposição é:
onde
são constantes a determinar. Justificativa: para cada fator linear simples
usa-se termo
; para o fator
de multiplicidade
usa-se
.
Passo 3
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
. Isso gera uma identidade polinomial:
Agora vamos expandir e agrupar termos do lado direito para comparar coeficientes.
Passo 4
Expandir e agrupar:
Somando:
Comparando com o polinômio do lado esquerdo
Da terceira equação vem
. Substituindo
na primeira:
.]
Passo 5
Portanto a decomposição em frações parciais é
Sempre bom conferir mentalmente: os números parecem coerentes (constante
produz termo constante 3, etc.), mas já podemos integrar termo a termo.
Passo 6
Integrar termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
-
. -
para . Em particular .
Aplicando isso:
Passo 7
Somando as primitivas parciais e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Explicação final curta: os termos logarítmicos aparecem por integrais de
e
; o termo
aparece por integrar
. Lembre-se que a constante
é arbitrária e que a primitiva é válida em intervalos onde
e
.