Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x \sqrt[5]{x^{3}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
\int x \sqrt[5]{x^{3}+1}\,dx.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A integranda é x\,(x^{3}+1)^{1/5}.
  • O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x\,(x^{3}+1)^{1/5}, ou seja a antiderivada geral (com constante de integração).

Passo 2

Vamos tentar uma substituição que simplifique as potências racionais. Uma escolha natural é passar de x para t=x^{3}, porque aparece x^{3} dentro da raiz de quinta ordem.
Fazendo t=x^{3} temos
dt = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{dt}{3x^{2}}.
Agora substituímos na integral original. Observe que a integranda contém um fator x, então
x\,(x^{3}+1)^{1/5}\,dx = x\,(t+1)^{1/5}\cdot\frac{dt}{3x^{2}} = \frac{1}{3}\,t^{-1/3}\,(t+1)^{1/5}\,dt,
porque x=t^{1/3} e 1/x^{2}=t^{-2/3} e multiplicando por x=t^{1/3} t^{-1/3}.
Portanto a integral passa a ser
I=\int x\,(x^{3}+1)^{1/5}\,dx =\frac{1}{3}\int t^{-1/3}\,(t+1)^{1/5}\,dt.

Passo 3

Agora queremos integrar
\frac{1}{3}\int t^{-1/3}\,(t+1)^{1/5}\,dt.
É útil reconhecer a forma geral \int t^{m-1}(1+t)^{n-1}\,dt. Para a nossa integral temos
t^{-1/3}=(t)^{m-1}\quad\Rightarrow\quad m-1=-\tfrac{1}{3}\Rightarrow m=\tfrac{2}{3},
e
(t+1)^{1/5}=(1+t)^{n-1}\quad\Rightarrow\quad n-1=\tfrac{1}{5}\Rightarrow n=\tfrac{6}{5}.
Existe uma fórmula expressando essa primitiva em termos da função hipergeométrica {}_2F_1. Uma forma direta (que se obtém expandindo (1+t)^{n-1} em série binomial e integrando termo a termo) é
\int t^{m-1}(1+t)^{n-1}\,dt =\frac{t^{m}}{m}\;{}_2F_1(1-n,m;m+1;-t)+C,
válida quando se aceita a função hipergeométrica como soma da série resultante. Nesta fórmula:
  • m e n são os parâmetros que identificamos acima,
  • {}_2F_1(a,b;c;z) é a função hipergeométrica gaussiana definida pela série
{}_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_k\,(b)_k}{\text{(c)}_k}\frac{z^{k}}{k!},
onde (q)_k é o símbolo Pochhammer (produto sucessivo q(q+1)\cdots(q+k-1)).

Passo 4

Aplicando a fórmula com m=\tfrac{2}{3} e n=\tfrac{6}{5} temos
\int t^{-1/3}(t+1)^{1/5}\,dt = \frac{t^{m}}{m}\;{}_2F_1(1-n,m;m+1;-t)+C = \frac{t^{2/3}}{2/3}\;{}_2F_1\!\Big(1-\tfrac{6}{5},\tfrac{2}{3};\tfrac{5}{3};-t\Big)+C.
Calcule 1-n=1-\tfrac{6}{5}=-\tfrac{1}{5}. Simplificando o coeficiente \dfrac{1}{2/3}=\dfrac{3}{2} e lembrando do fator \tfrac{1}{3} que ficou fora na Passo 2, obtemos
I=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{2/3}}{2/3}\;{}_2F_1\!\Big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{3};\tfrac{5}{3};-t\Big)+C = \frac{1}{2}\,t^{2/3}\;{}_2F_1\!\Big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{3};\tfrac{5}{3};-t\Big)+C.

Passo 5

Voltando à variável x (lembre que t=x^{3} e t^{2/3}=x^{2}) obtemos a primitiva em termos da função hipergeométrica:
\boxed{\; \int x\sqrt[5]{x^{3}+1}\,dx = \frac{1}{2}\,x^{2}\;{}_2F_1\!\Big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{3};\tfrac{5}{3};-x^{3}\Big)+C \; }.
Breve explicação didática final (para fixar):
  • A substituição t=x^{3} reduz as frações nos expoentes, levando a uma integral da forma t^{m-1}(1+t)^{n-1}.
  • Essa integral, em geral, não tem primitiva elementar (em termos de polinômios, exponenciais, logaritmos e funções elementares usuais), mas pode ser escrita em função especial: a hipergeométrica {}_2F_1.
  • A fórmula usada pode ser obtida expandindo (1+t)^{n-1} em série e integrando termo a termo, ou reconhecendo a definição em série de {}_2F_1.
Força aí — essa resposta mostra que a integral existe e tem uma forma fechada em termos de funções especiais; se quiser, eu mostro como verificar por diferenciação que a expressão final de fato deriva para a integranda, passo a passo. Boa sorte nos estudos!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\,x^{2}\;{}_2F_1\!\Big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{3};\tfrac{5}{3};-x^{3}\Big)+C

Exercícios relacionados