Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
Dados importantes extraídos do enunciado:
- A integranda é
. - O objetivo é encontrar uma função
tal que , ou seja a antiderivada geral (com constante de integração).
Passo 2
Vamos tentar uma substituição que simplifique as potências racionais. Uma escolha natural é passar de
para
, porque aparece
dentro da raiz de quinta ordem.
Fazendo
temos
Agora substituímos na integral original. Observe que a integranda contém um fator
, então
porque
e
e multiplicando por
dá
.
Portanto a integral passa a ser
Passo 3
Agora queremos integrar
É útil reconhecer a forma geral
. Para a nossa integral temos
e
Existe uma fórmula expressando essa primitiva em termos da função hipergeométrica
. Uma forma direta (que se obtém expandindo
em série binomial e integrando termo a termo) é
válida quando se aceita a função hipergeométrica como soma da série resultante. Nesta fórmula:
-
e são os parâmetros que identificamos acima, -
é a função hipergeométrica gaussiana definida pela série
onde
é o símbolo Pochhammer (produto sucessivo
).
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
temos
Calcule
. Simplificando o coeficiente
e lembrando do fator
que ficou fora na Passo 2, obtemos
Passo 5
Voltando à variável
(lembre que
e
) obtemos a primitiva em termos da função hipergeométrica:
Breve explicação didática final (para fixar):
- A substituição
reduz as frações nos expoentes, levando a uma integral da forma . - Essa integral, em geral, não tem primitiva elementar (em termos de polinômios, exponenciais, logaritmos e funções elementares usuais), mas pode ser escrita em função especial: a hipergeométrica
. - A fórmula usada pode ser obtida expandindo
em série e integrando termo a termo, ou reconhecendo a definição em série de .
Força aí — essa resposta mostra que a integral existe e tem uma forma fechada em termos de funções especiais; se quiser, eu mostro como verificar por diferenciação que a expressão final de fato deriva para a integranda, passo a passo. Boa sorte nos estudos!