Calcule as integrais indefinidas abaixo:
2)
2)
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:\n
- Calcular a integral indefinida
.\n - A variável de integração é
.\n - Como é integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração
.\n
Nada mais é dado no enunciado.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: integração por partes.\n
A fórmula geral de integração por partes é:
A fórmula geral de integração por partes é:
onde:
-
é uma função de , -
é outra parte do integrando que escolhemos, -
é a derivada de em relação a vezes (ou seja, ), -
é uma primitiva de (ou seja, ).\n
Explicando: escolhemose de modo que seja fácil calcular e e que a integral seja mais simples que a original.
Passo 3
Aplicando integração por partes à integral
.\n
Escolho:
Escolho:
Então:
pois a primitiva de
é
e a derivada de
é
.\n
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Simplificando o sinal:
Para organizar, defino:
então obtive:
Passo 4
Agora calculo
também por partes.\n
Escolho para :
Escolho para
Então:
Aplicando integração por partes:
Mas observe que
é justamente
. Portanto:
Passo 5
Substituo a expressão de
encontrada no Passo 4 na equação do Passo 3:\n
Lá tínhamos .\n
Substituindo :
Lá tínhamos
Substituindo
Agrupando termos semelhantes:
Levo o
do lado direito para o esquerdo:
Logo:
Dividindo por
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar o resultado deve retornar o integrando.\n
Derivo usando a regra do produto:\n
Derivo
Somando os termos dentro dos parênteses:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Observação adicional útil para a prova (fórmula geral):\n
Para integrais do tipo com
e
constantes, a primitiva é
Para integrais do tipo
No nosso caso
e
, o que dá a mesma resposta encontrada acima.