Calcule as integrais indefinidas abaixo:
2) \int e^{x} \cos x d x

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:\n
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.\n
  • A variável de integração é x.\n
  • Como é integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração C.\n
    Nada mais é dado no enunciado.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: integração por partes.\n
A fórmula geral de integração por partes é:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função de x,
  • dv é outra parte do integrando que escolhemos,
  • du é a derivada de u em relação a x vezes dx (ou seja, du = u'(x)\,dx),
  • v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx).\n
    Explicando: escolhemos u e dv de modo que seja fácil calcular du e v e que a integral \int v\,du seja mais simples que a original.

Passo 3

Aplicando integração por partes à integral \displaystyle I=\int e^{x}\cos x\,dx.\n
Escolho:
u=\cos x,\qquad dv=e^{x}dx.
Então:
du = -\sin x\,dx,\qquad v = e^{x},
pois a primitiva de e^{x} é e^{x} e a derivada de \cos x é -\sin x.\n
Usando a fórmula:
I = uv - \int v\,du = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx.
Simplificando o sinal:
I = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx.
Para organizar, defino:
J=\int e^{x}\sin x\,dx,
então obtive:
I = e^{x}\cos x + J.

Passo 4

Agora calculo J=\displaystyle \int e^{x}\sin x\,dx também por partes.\n
Escolho para J:
u=\sin x,\qquad dv=e^{x}dx.
Então:
du=\cos x\,dx,\qquad v=e^{x}.
Aplicando integração por partes:
J = uv - \int v\,du = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx.
Mas observe que \displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx é justamente I. Portanto:
J = e^{x}\sin x - I.

Passo 5

Substituo a expressão de J encontrada no Passo 4 na equação do Passo 3:\n
Lá tínhamos \;I = e^{x}\cos x + J.\n
Substituindo J = e^{x}\sin x - I:
I = e^{x}\cos x + (e^{x}\sin x - I).
Agrupando termos semelhantes:
I = e^{x}\cos x + e^{x}\sin x - I.
Levo o -I do lado direito para o esquerdo:
I + I = e^{x}(\cos x + \sin x).
Logo:
2I = e^{x}(\sin x + \cos x).
Dividindo por 2:
I = \frac{e^{x}}{2}\,(\sin x + \cos x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar o resultado deve retornar o integrando.\n
Derivo F(x)=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x + \cos x) usando a regra do produto:\n
F'(x)=\frac{1}{2}\,e^{x}(\sin x+\cos x)+\frac{e^{x}}{2}(\cos x-\sin x).
Somando os termos dentro dos parênteses:
F'(x)=\frac{e^{x}}{2}\big[(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)\big] =\frac{e^{x}}{2}(2\cos x)=e^{x}\cos x,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Observação adicional útil para a prova (fórmula geral):\n
Para integrais do tipo \displaystyle \int e^{ax}\cos(bx)\,dx com a e b constantes, a primitiva é
\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}\big(a\cos(bx)+b\sin(bx)\big)+C.
No nosso caso a=1 e b=1, o que dá a mesma resposta encontrada acima.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{x}}{2}\,(\sin x + \cos x)+C

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