Para as funções f e g definidas abaixo determine o domínio das funções f \circ g e g \circ f :
f(x)=\sqrt{x} e g(x)=x^{2}-3 x-4.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio das funções compostas f\circ g e g\circ f, onde estão dadas as funções
f(x)=\sqrt{x}
e
g(x)=x^{2}-3x-4.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A função f só está definida para entradas não negativas, ou seja, o domínio natural de f é [0,\infty).
  • A função g é um polinômio de segundo grau, logo está definida para todos os reais; o domínio natural de g é (-\infty,\infty).
As perguntas concretas são:
  • Qual é o domínio de f\circ g, isto é, o conjunto de x para os quais f(g(x)) está bem definida?
  • Qual é o domínio de g\circ f, isto é, o conjunto de x para os quais g(f(x)) está bem definida?

Passo 2

Regra geral para domínio de composições (explicação didática):
  • Para f\circ g (lê-se “ f composto com g”), a entrada x deve ser tal que x pertença ao domínio de g e, além disso, g(x) pertença ao domínio de f. Em símbolos:
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.
  • Para g\circ f, analogamente:
\operatorname{Dom}(g\circ f)=\{x\in\operatorname{Dom}(f)\mid f(x)\in\operatorname{Dom}(g)\}.
Aqui é importante: muitas vezes um dos domínios é “mais restritivo” e impõe a condição principal; outras vezes é necessário impor uma condição extra (como desigualdade) sobre x.

Passo 3

Aplicando a regra para f\circ g:
  • A expressão é
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{g(x)}=\sqrt{x^{2}-3x-4}.
  • Para que isso faça sentido (ou seja, a raiz quadrada seja de número não negativo) precisamos que
x^{2}-3x-4\ge 0.
Portanto devemos resolver essa desigualdade quadrática.

Passo 4

Resolver a desigualdade x^{2}-3x-4\ge 0 (passo a passo):
  • Primeiro encontramos as raízes da equação correspondente x^{2}-3x-4=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1} =\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm\sqrt{25}}{2} =\frac{3\pm5}{2}.
  • Assim as raízes são x=4 e x=-1.
  • Logo fatoramos o polinômio:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
  • Agora fazemos a análise de sinal: como o coeficiente do termo x^{2} é positivo (parábola abre para cima), o produto (x-4)(x+1) é maior ou igual a zero quando x está fora do intervalo entre as raízes, e negativo entre as raízes. Portanto a solução da desigualdade é
x\in(-\infty,-1]\cup[4,\infty).
  • Para checar, pode-se testar pontos: por exemplo, x=0 0-0-4=-4<0 (não vale); x=5 25-15-4=6\ge0 (vale); x=-2 4+6-4=6\ge0 (vale). Isso confirma.

Passo 5

Concluir domínio de f\circ g:
  • Lembrando que g tem domínio (-\infty,\infty), a única restrição vem da condição g(x)\in\operatorname{Dom}(f), que já resolvemos.
  • Portanto
\operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[4,\infty).

Passo 6

Aplicando a regra para g\circ f:
  • A expressão é
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^{2}-3\sqrt{x}-4.
  • Para começar, a entrada x precisa estar no domínio de f, isto é, precisamos ter x\ge 0.
  • Depois, precisamos que f(x)=\sqrt{x} esteja no domínio de g. Mas o domínio de g é todo (-\infty,\infty), de modo que não há restrição extra: qualquer valor real obtido por \sqrt{x} (que é \ge0) é aceitável para g.
  • Logo a única restrição é x\ge 0.

Passo 7

Concluir domínio de g\circ f:
  • Portanto
\operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,\infty).

Resposta

\operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[4,\infty)
\operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,\infty)

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