Para as funções
e
definidas abaixo determine o domínio das funções
e
:
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio das funções compostas
e
, onde estão dadas as funções
e
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A função
só está definida para entradas não negativas, ou seja, o domínio natural de é . - A função
é um polinômio de segundo grau, logo está definida para todos os reais; o domínio natural de é .
As perguntas concretas são:
- Qual é o domínio de
, isto é, o conjunto de para os quais está bem definida? - Qual é o domínio de
, isto é, o conjunto de para os quais está bem definida?
Passo 2
Regra geral para domínio de composições (explicação didática):
- Para
(lê-se “ composto com ”), a entrada deve ser tal que pertença ao domínio de e, além disso, pertença ao domínio de . Em símbolos:
- Para
, analogamente:
Aqui é importante: muitas vezes um dos domínios é “mais restritivo” e impõe a condição principal; outras vezes é necessário impor uma condição extra (como desigualdade) sobre
.
Passo 3
Aplicando a regra para
:
- A expressão é
- Para que isso faça sentido (ou seja, a raiz quadrada seja de número não negativo) precisamos que
Portanto devemos resolver essa desigualdade quadrática.
Passo 4
Resolver a desigualdade
(passo a passo):
- Primeiro encontramos as raízes da equação correspondente
. Usando a fórmula de Bhaskara:
- Assim as raízes são
e . - Logo fatoramos o polinômio:
- Agora fazemos a análise de sinal: como o coeficiente do termo
é positivo (parábola abre para cima), o produto é maior ou igual a zero quando está fora do intervalo entre as raízes, e negativo entre as raízes. Portanto a solução da desigualdade é
- Para checar, pode-se testar pontos: por exemplo,
dá (não vale); dá (vale); dá (vale). Isso confirma.
Passo 5
Concluir domínio de
:
- Lembrando que
tem domínio , a única restrição vem da condição , que já resolvemos. - Portanto
Passo 6
Aplicando a regra para
:
- A expressão é
- Para começar, a entrada
precisa estar no domínio de , isto é, precisamos ter . - Depois, precisamos que
esteja no domínio de . Mas o domínio de é todo , de modo que não há restrição extra: qualquer valor real obtido por (que é ) é aceitável para . - Logo a única restrição é
.
Passo 7
Concluir domínio de
:
- Portanto