Considere as funções
e
definidas por
e
.
(a) Determine
e
.
(b) Calcule
e
.
(c) Determine os valores no domínio de
que produz imagem igual a 16 .
(a) Determine
(b) Calcule
(c) Determine os valores no domínio de
Passo 1
O enunciado fornece as duas funções e pede três coisas. Peguei estes dados do enunciado:
-
. -
.
O que é pedido:
(a) Determinar e
(isto é, as composições
e
).
(b) Calcular e
.
(c) Determinar os valores no domínio de cuja imagem vale
(ou seja, resolver
).
(a) Determinar
(b) Calcular
(c) Determinar os valores no domínio de
Passo 2
Entendendo composição de funções (explicação didática curta e prática).
- Se
, então por definição : primeiro calcula-se , depois aplica-se ao resultado. - Isso significa que, para construir
, substitui-se cada ocorrência de em pela expressão .
Agora aplico isso para encontrar
. Primeiro escrevo a composição em forma simbólica:
Substituo
dentro dessa expressão:
Passo 3
Desenvolvendo e simplificando
passo a passo (mostrando as contas detalhadas).
Calculo o quadrado:
Calculo o quadrado:
Calculo a outra parte:
Agora somo tudo (lembrando do
):
Agrupo termos semelhantes:
Posso fatorar um
se quiser:
Passo 4
Agora determino
seguindo a mesma ideia:
. Usando
,
Distribuo o
:
Passo 5
Agora calculo as imagens em
. Primeiro
.
Método 1 (usar
e depois
do resultado):
. Em seguida
. Logo
.
Método 2 (verificação rápida usando a expressão obtida):
confirma.
Agora
. Primeiro
. Depois
. Então
.
Verificação direta usando a expressão:
confirma.
Passo 6
Para (c) precisamos resolver
. Usei a expressão que já encontramos:
Subtraio
dos dois lados:
Divido ambos os lados por
para simplificar:
Agora resolvo a quadrática por fatoração (procuro dois números cujo produto é
e soma é
): são
e
. Assim fatoramos:
Logo as soluções são as raízes:
Observação sobre domínio:
e
são polinômios, logo definidos para todo
. Portanto as soluções acima pertencem ao domínio de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)