Considere as funções f e g definidas por f(x)=x^{2}+4 x-5 e g(x)=2 x-3.
(a) Determine f \circ g e g \circ f.
(b) Calcule (f \circ g)(2) e (g \circ f)(2).
(c) Determine os valores no domínio de f \circ g que produz imagem igual a 16 .

Passo 1

O enunciado fornece as duas funções e pede três coisas. Peguei estes dados do enunciado:
  • f(x)=x^{2}+4x-5.
  • g(x)=2x-3.
O que é pedido:
(a) Determinar f\circ g e g\circ f (isto é, as composições f(g(x)) e g(f(x))).
(b) Calcular (f\circ g)(2) e (g\circ f)(2).
(c) Determinar os valores no domínio de f\circ g cuja imagem vale 16 (ou seja, resolver (f\circ g)(x)=16).

Passo 2

Entendendo composição de funções (explicação didática curta e prática).
  • Se h=f\circ g, então por definição h(x)=f(g(x)): primeiro calcula-se g(x), depois aplica-se f ao resultado.
  • Isso significa que, para construir f\circ g, substitui-se cada ocorrência de x em f(x) pela expressão g(x).
Agora aplico isso para encontrar f\circ g. Primeiro escrevo a composição em forma simbólica:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x))^{2}+4\bigl(g(x)\bigr)-5.
Substituo g(x)=2x-3 dentro dessa expressão:
(f\circ g)(x)=(2x-3)^{2}+4(2x-3)-5.

Passo 3

Desenvolvendo e simplificando (f\circ g)(x) passo a passo (mostrando as contas detalhadas).
Calculo o quadrado:
(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9.
Calculo a outra parte:
4(2x-3)=8x-12.
Agora somo tudo (lembrando do -5):
(f\circ g)(x)=\bigl(4x^{2}-12x+9\bigr)+(8x-12)-5.
Agrupo termos semelhantes:
(f\circ g)(x)=4x^{2}+(-12x+8x)+(9-12-5).
(f\circ g)(x)=4x^{2}-4x-8.
Posso fatorar um 4 se quiser:
(f\circ g)(x)=4\bigl(x^{2}-x-2\bigr)=4(x-2)(x+1).

Passo 4

Agora determino g\circ f seguindo a mesma ideia: g\circ f(x)=g(f(x))=2\,f(x)-3. Usando f(x)=x^{2}+4x-5,
(g\circ f)(x)=2(x^{2}+4x-5)-3.
Distribuo o 2:
(g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-10-3.
(g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-13.

Passo 5

Agora calculo as imagens em x=2. Primeiro (f\circ g)(2).
Método 1 (usar g(2) e depois f do resultado): g(2)=2\cdot2-3=1. Em seguida f(1)=1^{2}+4\cdot1-5=1+4-5=0. Logo (f\circ g)(2)=0.
Método 2 (verificação rápida usando a expressão obtida):
(f\circ g)(2)=4\cdot2^{2}-4\cdot2-8=4\cdot4-8-8=16-16=0,
confirma.
Agora (g\circ f)(2). Primeiro f(2)=2^{2}+4\cdot2-5=4+8-5=7. Depois g(7)=2\cdot7-3=14-3=11. Então (g\circ f)(2)=11.
Verificação direta usando a expressão:
(g\circ f)(2)=2\cdot2^{2}+8\cdot2-13=8+16-13=11,
confirma.

Passo 6

Para (c) precisamos resolver (f\circ g)(x)=16. Usei a expressão que já encontramos:
4x^{2}-4x-8=16.
Subtraio 16 dos dois lados:
4x^{2}-4x-24=0.
Divido ambos os lados por 4 para simplificar:
x^{2}-x-6=0.
Agora resolvo a quadrática por fatoração (procuro dois números cujo produto é -6 e soma é -1): são -3 e 2. Assim fatoramos:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Logo as soluções são as raízes:
x=3 \quad\text{ou}\quad x=-2.
Observação sobre domínio: f e g são polinômios, logo definidos para todo x\in\mathbb{R}. Portanto as soluções acima pertencem ao domínio de f\circ g.

Resposta

(a) f\circ g(x)=4x^{2}-4x-8,\quad g\circ f(x)=2x^{2}+8x-13
(b) (f\circ g)(2)=0,\quad (g\circ f)(2)=11
(c) x=3,\;x=-2

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