Calcule as integrais indefinidas abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
. -
aparece como parâmetro (não foi dado valor numérico; é assumido real). - A expressão contém uma raiz quinta de
, que pode ser reescrita como potência. - Haverá um caso especial quando o expoente da potência for
(isso acontece se ); nesse caso usa-se o logaritmo natural em vez da regra da potência.
Passo 2
Reescrevendo a raiz como potência: pela regra de expoentes
. Portanto a integral fica
Passo 3
Usando a linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais e constantes podem sair da integral):
Explicando a linearidade: se
e
são constantes e
funções, então
.
Passo 4
Apresentando a regra de potência para antiderivadas:
- Se
então
Isto é porque ao derivar
obtém-se
.
- Se
então
(Usa-se
dentro do logaritmo para cobrir
.)
Passo 5
Aplicando a regra de potência ao primeiro termo, com
.
Primeiro supondo que , ou seja
.
Calcule :
Primeiro supondo que
Calcule
Então
Multiplicando pelo
que estava fora da integral:
Passo 6
Integrando o segundo termo:
Somando as duas partes e incluindo a constante de integração
, para
obtemos
Passo 7
Tratando o caso especial
. Se
então
e o primeiro termo é
.
Somando com o segundo termo e a constante
, para
obtemos
Somando com o segundo termo