Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(3 \sqrt[5]{x^{n}}+3\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(3 \sqrt[5]{x^{n}}+3\right) dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é x.
  • n aparece como parâmetro (não foi dado valor numérico; é assumido real).
  • A expressão contém uma raiz quinta de x^{n}, que pode ser reescrita como potência.
  • Haverá um caso especial quando o expoente da potência for -1 (isso acontece se n=-5); nesse caso usa-se o logaritmo natural em vez da regra da potência.

Passo 2

Reescrevendo a raiz como potência: pela regra de expoentes (x^{n})^{1/5}=x^{n/5}. Portanto a integral fica
\int\left(3 x^{\frac{n}{5}}+3\right) dx.

Passo 3

Usando a linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais e constantes podem sair da integral):
\int\left(3 x^{\frac{n}{5}}+3\right) dx =3\int x^{\frac{n}{5}} dx + 3\int dx.
Explicando a linearidade: se a e b são constantes e f,g funções, então \int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx.

Passo 4

Apresentando a regra de potência para antiderivadas:
  • Se k\neq -1 então
\int x^{k} dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C.
Isto é porque ao derivar \dfrac{x^{k+1}}{k+1} obtém-se x^{k}.
  • Se k=-1 então
\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C.
(Usa-se |x| dentro do logaritmo para cobrir x<0.)

Passo 5

Aplicando a regra de potência ao primeiro termo, com k=\dfrac{n}{5}.
Primeiro supondo que k\neq -1, ou seja \dfrac{n}{5}\neq -1 \Rightarrow n\neq -5.
Calcule k+1:
k+1=\frac{n}{5}+1=\frac{n+5}{5}.
Então
\int x^{\frac{n}{5}} dx = \frac{x^{\frac{n+5}{5}}}{\frac{n+5}{5}} = \frac{5}{n+5}\,x^{\frac{n+5}{5}}.
Multiplicando pelo 3 que estava fora da integral:
3\int x^{\frac{n}{5}} dx = \frac{15}{n+5}\,x^{\frac{n+5}{5}}.

Passo 6

Integrando o segundo termo:
3\int dx = 3x.
Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, para n\neq -5 obtemos
\frac{15}{n+5}\,x^{\frac{n+5}{5}} + 3x + C.

Passo 7

Tratando o caso especial n=-5. Se n=-5 então \dfrac{n}{5}=-1 e o primeiro termo é 3\int x^{-1}dx = 3\ln|x|.
Somando com o segundo termo 3x e a constante C, para n=-5 obtemos
3\ln|x| + 3x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{n+5}\,x^{\frac{n+5}{5}}+3x+C para n\neq -5
\displaystyle 3\ln|x|+3x+C para n=-5

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