Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função a integrar é f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^{2}}.
  • A presença de \sqrt{x} implica que, para a escrita principal, consideramos x>0.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (uma família de funções) F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

Converter as potências em forma conveniente para aplicar a regra do integral de potências:
  • \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
    Logo a integral fica
\int\left(x^{1/2}+x^{-2}\right)\,dx.

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar (regra da potência para integrais):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad \text{para }n\neq -1,
onde n é o expoente (um número real), x é a variável de integração, e C é a constante de integração. Observação: o caso n=-1 \int x^{-1}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C, por isso excluímos n=-1 da fórmula acima.

Passo 4

Aplicar a regra ao primeiro termo x^{1/2}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{3}{2}. Pela fórmula,
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C_1.
Simplificando a divisão por 3/2 (multiplicar pelo inverso):
\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Aplicar a regra ao segundo termo x^{-2}. Aqui n=-2, então n+1=-1. Pela fórmula,
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C_2.
Simplificando:
\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.

Passo 6

Somar as primitivas dos dois termos (constantes C_1 e C_2 combinam numa única constante C):
\int\left(x^{1/2}+x^{-2}\right)\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação) para ganhar confiança: derivando F(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{x},
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-(-1)x^{-2}=x^{1/2}+x^{-2},
que é exatamente o integrando. Tudo certo.

Passo 8

Observação sobre domínio e formas alternativas: para x>0 pode-se reescrever x^{3/2}=x\sqrt{x}, então uma forma equivalente é \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}+C. Boa! Você conseguiu — respira, está indo bem.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{x}+C

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