Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int 2 x \operatorname{sen}^{4}\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int 2\,x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx.
Trata-se de uma integral que envolve um polinômio em x multiplicado por potência de função trigonométrica. Vamos usar substituição simples seguida de redução de potência em \sin^{4}u.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x^{2}-1, \quad du = 2\,x\,dx,
a integral original transforma-se em
\int 2\,x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = \int \sin^{4}(u)\,du.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de redução de potência
\sin^{2}u = \frac{1-\cos(2u)}{2},
então
\sin^{4}u = \bigl(\sin^{2}u\bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1-\cos(2u)}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1 - 2\cos(2u) + \cos^{2}(2u)}{4}.
Usando \cos^{2}(2u) = \tfrac{1+\cos(4u)}{2}, obtemos
\sin^{4}u = \frac{3}{8} - \frac12\cos(2u) + \frac18\cos(4u).

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \sin^{4}u\,du = \int\Bigl(\tfrac{3}{8} - \tfrac12\cos(2u) + \tfrac18\cos(4u)\Bigr)\,du = \frac{3}{8}u - \frac14\sin(2u) + \frac{1}{32}\sin(4u) + C.

Passo 5

Volta-mos à variável x usando u = x^{2}-1. A antiderivada fica
\frac{3}{8}(x^{2}-1) - \frac14\sin\bigl(2(x^{2}-1)\bigr) + \frac{1}{32}\sin\bigl(4(x^{2}-1)\bigr) + C.

Resposta

\int 2\,x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = \frac{3}{8}(x^{2}-1) - \frac14\sin\bigl(2(x^{2}-1)\bigr) + \frac{1}{32}\sin\bigl(4(x^{2}-1)\bigr) + C.

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