Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \operatorname{sen}^{3}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^3(2x+1)\,dx
O conteúdo necessário é o uso de identidades trigonométricas para potências ímpares de seno e técnica de substituição.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^3 u = \sin u\,\bigl(1 - \cos^2 u\bigr)
Aplicando a essa integral temos
\int \operatorname{sen}^3(2x+1)\,dx =\int \sin(2x+1)\,\bigl(1-\cos^2(2x+1)\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u=2x+1, logo du=2\,dx ou dx=\tfrac12\,du. A integral torna-se
\int \sin(2x+1)\,\bigl(1-\cos^2(2x+1)\bigr)\,dx =\frac12\int \sin u\,(1-\cos^2 u)\,du.

Passo 4

Para integrar \int \sin u\,(1-\cos^2 u)\,du usamos a nova substituição t=\cos u, de onde dt=-\sin u\,du. Assim
\frac12\int \sin u\,(1-\cos^2 u)\,du =-\frac12\int(1-t^2)\,dt =-\frac12\Bigl(t-\frac{t^3}{3}\Bigr)+C.

Passo 5

Voltando às variáveis originais t=\cos u e u=2x+1, obtemos
-\frac12\Bigl(\cos u - \frac{\cos^3 u}{3}\Bigr)+C =-\frac12\cos(2x+1)+\frac{1}{6}\cos^3(2x+1)+C.

Resposta

-\frac{1}{2}\cos(2x+1)+\frac{1}{6}\cos^3(2x+1)+C

Exercícios relacionados