Calcule as integrais indefinidas abaixo:
3)
3)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
(ou seja,
). Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração.
Passo 2
Identidade trigonométrica útil (explicada): a partir da identidade fundamental
, dividindo ambos os lados por
obtém-se
Aqui
e
. Essa identidade é muito usada para transformar
em termos de
, cuja integral é simples.
Passo 3
Reescrevendo a integranda usando a identidade:
Logo
Passo 4
Integramos termo a termo. Precisamos saber duas primitivas:
- Primitiva de
: a derivada de é . Prova curta: . Portanto . - Primitiva de
é : .
Aplicando:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta obtida deve voltar a integranda:
confirmando que a primitiva está correta.