Calcule as integrais indefinidas abaixo:
3) \int \operatorname{tg}^{2} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}^{2} x\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{tg}^{2}x (ou seja, \tan^{2}x). Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil (explicada): a partir da identidade fundamental \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, dividindo ambos os lados por \cos^{2}x obtém-se
\tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x.
Aqui \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Essa identidade é muito usada para transformar \tan^{2}x em termos de \operatorname{sec}^{2}x, cuja integral é simples.

Passo 3

Reescrevendo a integranda usando a identidade:
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Logo
\int \tan^{2}x\,dx=\int\bigl(\operatorname{sec}^{2}x-1\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo. Precisamos saber duas primitivas:
  • Primitiva de \operatorname{sec}^{2}x: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Prova curta: \dfrac{d}{dx}\tan x=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x. Portanto \displaystyle\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x.
  • Primitiva de 1 é x: \displaystyle\int 1\,dx = x.
Aplicando:
\int\bigl(\operatorname{sec}^{2}x-1\bigr)\,dx=\tan x - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta obtida deve voltar a integranda:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x - x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x - 1=\tan^{2}x,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\tan x - x + C

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