Calcule as integrais indefinidas abaixo:
5) \int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função dada. Mais precisamente, calcular
\int \operatorname{tg}^{3}x\;\operatorname{sec}^{2}x\;dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é \operatorname{tg}^{3}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Idéia geral (sem pular etapas): observar se alguma parte da integranda é a derivada de outra parte. Lembrete útil: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Vou usar isso com substituição. Definimos a substituição
u=\tan x.
Agora explico por quê isso ajuda: ao derivar u=\tan x com respeito a x obtemos
\frac{du}{dx}=\operatorname{sec}^{2}x,
ou seja
du=\operatorname{sec}^{2}x\;dx.
Isso significa que a parte \operatorname{sec}^{2}x\;dx da integranda pode ser trocada por du, transformando uma integral trigonométrica numa integral polinomial em u.

Passo 3

Substituição na integral: como \tan x = u e \operatorname{sec}^{2}x\;dx = du, temos
\int \operatorname{tg}^{3}x\;\operatorname{sec}^{2}x\;dx = \int u^{3}\;du.
Aqui usei apenas a substituição que acabamos de encontrar; a integranda ficou u^{3}, uma potência simples de u.

Passo 4

Agora integramos a potência u^{3}. Regra usada: para n\neq -1,
\int u^{n}\;du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=3:
\int u^{3}\;du=\frac{u^{4}}{4}+C.

Passo 5

Retornando à variável original: lembrando que u=\tan x, substituímos de volta:
\frac{u^{4}}{4}+C=\frac{\tan^{4}x}{4}+C.
Podemos fazer uma checagem rápida por diferenciação: derivando \dfrac{\tan^{4}x}{4} pelo teorema da cadeia obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{\tan^{4}x}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot 4\tan^{3}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x=\tan^{3}x\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\tan^{4}x}{4}+C

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