Calcule as integrais indefinidas abaixo:
5)
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Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função dada. Mais precisamente, calcular
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é
. - Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Idéia geral (sem pular etapas): observar se alguma parte da integranda é a derivada de outra parte. Lembrete útil: a derivada de
é
. Vou usar isso com substituição. Definimos a substituição
Agora explico por quê isso ajuda: ao derivar
com respeito a
obtemos
ou seja
Isso significa que a parte
da integranda pode ser trocada por
, transformando uma integral trigonométrica numa integral polinomial em
.
Passo 3
Substituição na integral: como
e
, temos
Aqui usei apenas a substituição que acabamos de encontrar; a integranda ficou
, uma potência simples de
.
Passo 4
Agora integramos a potência
. Regra usada: para
,
Aplicando com
:
Passo 5
Retornando à variável original: lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos fazer uma checagem rápida por diferenciação: derivando
pelo teorema da cadeia obtemos
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.