Exercício 3-Observações:
a) O que acontece com o termo
quanto
? Explique! Tal termo é usualmente denominado corrente transitória. Explique!
b) A razão
é chamada corrente estacionária. Explique!
c) Após um longo período, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de Ohm
. Explique!
b) A razão
c) Após um longo período, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de Ohm
Passo 1
O enunciado pergunta três coisas relacionadas ao termo
, à razão
e ao comportamento a longo prazo do circuito. As informações implícitas que vamos usar são:
- Trata-se de um circuito série com uma fonte contínua (tensão DC)
, resistência e indutor . - A solução geral da corrente nesse circuito costuma aparecer na forma
onde
é constante determinada pela condição inicial
.
As perguntas são:
a) O que acontece com quando
, e por que esse termo é chamado de corrente transitória?
b) Por que é chamada corrente estacionária?
c) Por que após um longo período a corrente é regida praticamente por (lei de Ohm)?
As perguntas são:
a) O que acontece com
b) Por que
c) Por que após um longo período a corrente é regida praticamente por
Passo 2
Derivando a solução: de onde vem
? Vou mostrar o passo a passo da equação diferencial que gera essa solução, explicando cada símbolo.
- A lei de Kirchhoff de tensões para o circuito série (fonte
, resistor , indutor ) dá:
Aqui:
-
é a corrente no circuito em função do tempo; -
é a derivada da corrente em relação ao tempo (variação instantânea da corrente); -
é a tensão no indutor (porque tensão no indutor vale ); -
é a tensão no resistor pela lei de Ohm; -
é a tensão da fonte (assumida constante). - Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem não-homogênea. Método padrão: achar solução particular constante e solução geral da homogênea.
- Solução particular: procurar
constante; então e a equação vira . Logo
- Solução homogênea: resolver
. Separando variáveis ou reconhecendo forma exponencial:
onde é constante (aqui chamamos de no enunciado). - Solução particular: procurar
- Somando particular + homogênea obtemos a solução geral:
Expliquei o significado de cada termo:
é a solução constante que equilibra tensões;
é a solução que decai ou cresce dependendo do sinal do expoente (aqui decai).
Passo 3
O comportamento do termo exponencial quando
:
- Considere o expoente
. Como e em componentes físicos reais, é um número negativo fixo. - Para qualquer constante finita
, a função exponencial com argumento negativo tende a zero quando :
- Portanto, matematicamente, o termo
desaparece com o tempo: ele decai exponencialmente até se tornar desprezível. - Interpretação física simples e intuitiva: esse termo descreve como a corrente ajusta-se desde o valor inicial dado pela condição em
até o valor de equilíbrio . A energia armazenada no indutor (campo magnético) é dissipada no resistor até que não reste variação de corrente; por isso o efeito inicial some.
Passo 4
Por que esse termo é chamado corrente transitória?
- Definição prática: “transitório” é a parte da resposta que existe apenas enquanto o sistema está se ajustando de uma condição inicial para o regime permanente (equilíbrio). Depois de algum tempo, o efeito desaparece.
- No nosso caso:
- O termo transitório é
. - Ele representa a resposta originada pela condição inicial (por exemplo, se o indutor já tinha corrente em
ou se a fonte foi ligada subitamente). - Ele decai com a constante de tempo do circuito, que definimos a seguir.
- O termo transitório é
- Constante de tempo e interpretação prática:
- Definimos a constante de tempo
por
- Em termos de
, o termo exponencial é . Uma propriedade útil: em a amplitude do transitório caiu para cerca de do valor inicial ( ). Em já caiu para , em para . Por isso falar em "após alguns " é comum para dizer “após um longo período”.
- Definimos a constante de tempo
- Resumo amigável: chama-se transitório porque é temporário — existe logo após a comutação e some exponencialmente em um tempo característico
.
Passo 5
Por que
é chamada corrente estacionária?
- Matemática: a componente
é a solução particular constante da equação diferencial; ela não depende do tempo. - Ao passo que o termo transitório decai, a corrente total tende para essa constante:
- Física: depois que o transitório desaparece, o circuito alcança um regime permanente (ou estado estacionário) em que todas as grandezas são constantes no tempo. Nesse regime a corrente vale
, por isso chamamos de corrente estacionária ou corrente de regime permanente. - Nota prática: “estacionária” significa apenas: não muda com o tempo. Nada sendo armazenado ou variando:
.
Passo 6
Por que após um longo período a corrente obedece praticamente à lei de Ohm
?
- No regime estacionário (longo prazo), a corrente é praticamente constante, logo
. - A tensão no indutor é
. Se , então . - Aplicando Kirchhoff:
. Com obtemos
- Interpretação física: o indutor se comporta como um curto-circuito ideal (resistência zero) para variações nulas de corrente; portanto a tensão da fonte aparece apenas no resistor e a relação entre tensão e corrente passa a ser a lei de Ohm.
- Conclusão física curta: depois que o transitório desaparece, não há variação de corrente para “forçar” tensão no indutor, então a corrente é determinada apenas pela resistência via
.
Passo 7
Dicas de prova e como aplicar isto rapidamente:
- Para identificar o termo transitório e sua velocidade de decaimento, calcule
. Se o enunciado pedir “após um longo tempo”, considere ou como suficientemente longo para desprezar o exponencial. - Para encontrar a constante
em um problema: use condição inicial . Como
tem-se
- Em exercícios, ao analisar comportamento quando
basta escrever e concluir que resta .
Resposta
a)
. Esse termo decai exponencialmente em tempo característico
e é chamado corrente transitória porque representa a resposta temporária do circuito que desaparece quando o sistema atinge o regime permanente.
b) é a corrente estacionária porque é a solução constante (regime permanente) da equação do circuito e é o valor que
atinge quando o termo transitório já decaiu.
c) Após longo período , logo pela lei de Kirchhoff sobra
; assim, no regime permanente a corrente é praticamente dada por
(lei de Ohm).
b)
c) Após longo período