Exercício 3-Observações:

a) O que acontece com o termo c e^{-\left(\frac{R}{L}\right) t} quanto t \rightarrow \infty ? Explique! Tal termo é usualmente denominado corrente transitória. Explique!
b) A razão E / R é chamada corrente estacionária. Explique!
c) Após um longo período, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de Ohm E=R i. Explique!

Passo 1

O enunciado pergunta três coisas relacionadas ao termo \;c e^{-\left(\frac{R}{L}\right)t}\;, à razão \;E/R\; e ao comportamento a longo prazo do circuito. As informações implícitas que vamos usar são:
  • Trata-se de um circuito série com uma fonte contínua (tensão DC) \;E\;, resistência \;R\; e indutor \;L\;.
  • A solução geral da corrente nesse circuito costuma aparecer na forma
i(t)=\frac{E}{R}+c\,e^{-\left(\frac{R}{L}\right)t},
onde \;c\; é constante determinada pela condição inicial i(0).
As perguntas são:
a) O que acontece com \;c e^{-\left(\frac{R}{L}\right)t}\; quando t\to\infty, e por que esse termo é chamado de corrente transitória?
b) Por que \;E/R\; é chamada corrente estacionária?
c) Por que após um longo período a corrente é regida praticamente por \;E=R i\; (lei de Ohm)?

Passo 2

Derivando a solução: de onde vem \;i(t)=\dfrac{E}{R}+c e^{-(R/L)t}? Vou mostrar o passo a passo da equação diferencial que gera essa solução, explicando cada símbolo.
  • A lei de Kirchhoff de tensões para o circuito série (fonte \;E, resistor \;R, indutor \;L) dá:
L\,\frac{di}{dt}+R\,i = E.
Aqui:
  • \;i(t)\; é a corrente no circuito em função do tempo;
  • \;\frac{di}{dt}\; é a derivada da corrente em relação ao tempo (variação instantânea da corrente);
  • \;L\,\frac{di}{dt}\; é a tensão no indutor (porque tensão no indutor vale \;L\,di/dt\;);
  • \;R\,i\; é a tensão no resistor pela lei de Ohm;
  • \;E\; é a tensão da fonte (assumida constante).
  • Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem não-homogênea. Método padrão: achar solução particular constante e solução geral da homogênea.
    • Solução particular: procurar i_p constante; então \;di_p/dt=0\; e a equação vira R\,i_p = E. Logo
    i_p = \frac{E}{R}.
    • Solução homogênea: resolver L\,\dfrac{di_h}{dt}+R\,i_h=0. Separando variáveis ou reconhecendo forma exponencial:
    \frac{di_h}{dt} = -\frac{R}{L}\,i_h \quad\Rightarrow\quad i_h(t)=C e^{-\left(\frac{R}{L}\right)t},onde C é constante (aqui chamamos de c no enunciado).
  • Somando particular + homogênea obtemos a solução geral:
i(t)=\frac{E}{R}+c\,e^{-\left(\frac{R}{L}\right)t}.
Expliquei o significado de cada termo: \dfrac{E}{R} é a solução constante que equilibra tensões; c e^{-(R/L)t} é a solução que decai ou cresce dependendo do sinal do expoente (aqui decai).

Passo 3

O comportamento do termo exponencial quando t\to\infty:
  • Considere o expoente -\dfrac{R}{L}. Como \;R>0\; e \;L>0\; em componentes físicos reais, -\dfrac{R}{L} é um número negativo fixo.
  • Para qualquer constante finita c, a função exponencial com argumento negativo tende a zero quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty} c\,e^{-\left(\frac{R}{L}\right)t} = 0.
  • Portanto, matematicamente, o termo \;c e^{-(R/L)t}\; desaparece com o tempo: ele decai exponencialmente até se tornar desprezível.
  • Interpretação física simples e intuitiva: esse termo descreve como a corrente ajusta-se desde o valor inicial dado pela condição em t=0 até o valor de equilíbrio \;E/R. A energia armazenada no indutor (campo magnético) é dissipada no resistor até que não reste variação de corrente; por isso o efeito inicial some.

Passo 4

Por que esse termo é chamado corrente transitória?
  • Definição prática: “transitório” é a parte da resposta que existe apenas enquanto o sistema está se ajustando de uma condição inicial para o regime permanente (equilíbrio). Depois de algum tempo, o efeito desaparece.
  • No nosso caso:
    • O termo transitório é \;i_{\text{trans}}(t)=c\,e^{-(R/L)t}.
    • Ele representa a resposta originada pela condição inicial (por exemplo, se o indutor já tinha corrente em t=0 ou se a fonte foi ligada subitamente).
    • Ele decai com a constante de tempo do circuito, que definimos a seguir.
  • Constante de tempo e interpretação prática:
    • Definimos a constante de tempo \tau por
    \tau = \frac{L}{R}.
    • Em termos de \tau, o termo exponencial é e^{-t/\tau}. Uma propriedade útil: em t=\tau a amplitude do transitório caiu para cerca de 37\% do valor inicial ( e^{-1}\approx0{,}3679). Em t=3\tau já caiu para \sim5\%, em t=5\tau para \sim0{,}7\%. Por isso falar em "após alguns \tau" é comum para dizer “após um longo período”.
  • Resumo amigável: chama-se transitório porque é temporário — existe logo após a comutação e some exponencialmente em um tempo característico \tau=L/R.

Passo 5

Por que \;E/R\; é chamada corrente estacionária?
  • Matemática: a componente \;i_p=\dfrac{E}{R}\; é a solução particular constante da equação diferencial; ela não depende do tempo.
  • Ao passo que o termo transitório decai, a corrente total tende para essa constante:
\lim_{t\to\infty} i(t) = \lim_{t\to\infty}\left(\frac{E}{R}+c\,e^{-(R/L)t}\right) = \frac{E}{R}.
  • Física: depois que o transitório desaparece, o circuito alcança um regime permanente (ou estado estacionário) em que todas as grandezas são constantes no tempo. Nesse regime a corrente vale \;E/R\;, por isso chamamos de corrente estacionária ou corrente de regime permanente.
  • Nota prática: “estacionária” significa apenas: não muda com o tempo. Nada sendo armazenado ou variando: \;di/dt=0\;.

Passo 6

Por que após um longo período a corrente obedece praticamente à lei de Ohm \;E=R i\;?
  • No regime estacionário (longo prazo), a corrente é praticamente constante, logo \;di/dt\approx 0.
  • A tensão no indutor é \;v_L=L\,di/dt. Se \;di/dt=0, então \;v_L=0.
  • Aplicando Kirchhoff: \;E = v_R + v_L = R i + L\,\dfrac{di}{dt}. Com \;L\,di/dt\approx 0 obtemos
E \approx R i.
  • Interpretação física: o indutor se comporta como um curto-circuito ideal (resistência zero) para variações nulas de corrente; portanto a tensão da fonte aparece apenas no resistor e a relação entre tensão e corrente passa a ser a lei de Ohm.
  • Conclusão física curta: depois que o transitório desaparece, não há variação de corrente para “forçar” tensão no indutor, então a corrente é determinada apenas pela resistência via E=R i.

Passo 7

Dicas de prova e como aplicar isto rapidamente:
  • Para identificar o termo transitório e sua velocidade de decaimento, calcule \tau=L/R. Se o enunciado pedir “após um longo tempo”, considere t\gtrsim 4\tau ou 5\tau como suficientemente longo para desprezar o exponencial.
  • Para encontrar a constante c em um problema: use condição inicial i(0). Como
i(0)=\frac{E}{R}+c,
tem-se
c = i(0)-\frac{E}{R}.
  • Em exercícios, ao analisar comportamento quando t\to\infty basta escrever \lim_{t\to\infty} e^{-(R/L)t}=0 e concluir que resta \;i(\infty)=E/R.

Resposta

a) \displaystyle \lim_{t\to\infty} c\,e^{-(R/L)t}=0. Esse termo decai exponencialmente em tempo característico \tau=L/R e é chamado corrente transitória porque representa a resposta temporária do circuito que desaparece quando o sistema atinge o regime permanente.
b) \displaystyle \frac{E}{R} é a corrente estacionária porque é a solução constante (regime permanente) da equação do circuito e é o valor que i(t) atinge quando o termo transitório já decaiu.
c) Após longo período \;di/dt\approx0\Rightarrow v_L=L\,di/dt\approx0, logo pela lei de Kirchhoff sobra E\approx R i; assim, no regime permanente a corrente é praticamente dada por \;i=E/R (lei de Ohm).

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