Calcule
com precisão de 0,001 .
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
com precisão de
. Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
.
O objetivo é calcular um número aproximado para essa integral com erro absoluto no máximo.
Passo 2
Vamos manipular a integral para reduzi-la a uma parcela envolvendo
, que conhecemos como integral ligada à função erro. A ideia é usar uma identidade obtida pela diferenciação de um produto.
Calcule a derivada de
:
Rearranjando obtemos a identidade útil:
Passo 3
Integramos ambos os lados de
a
:
Avalie o primeiro termo na fronteira:
Logo
Portanto basta calcular
com erro controlado.
Passo 4
A função
não tem primitiva elementar expressável em termos de funções elementares; define-se a função erro
Assim
Para um cálculo numérico rigoroso e simples de
usaremos a série de Taylor de
, que converge rapidamente em
:
Integrando termo a termo (válido por convergência uniforme no intervalo), obtemos uma série alternada para a integral:
Como é uma série alternada com termos decrescentes em magnitude para
, o erro ao truncar após
termos tem módulo menor que o módulo do primeiro termo omitido (teste da série alternada). Portanto podemos truncar quando o próximo termo for
(na verdade muito menor, porque depois multiplicaremos por
e ainda subtrairemos outra quantidade).
Passo 5
Calculemos os primeiros termos da série para
.
Termos:
Somando até
(truncamento seguro porque o termo seguinte tem ordem
):
O próximo termo
tem magnitude
, então o erro ao truncar após
é
, muito menor que
. Assim
está conhecido com excelente precisão:
Passo 6
Agora calculemos a integral original combinando os termos numéricos. Primeiro calcule
:
Então
E
Somando:
A estimativa de erro global é dominada pelos erros já controlados (termos de série e aproximação de
); o erro total é muito menor que
. Assim podemos dar o valor com a precisão pedida.