Calcule \int_{0}^{1 / 2} x^{2} e^{-x^{2}} d x com precisão de 0,001 .

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{1/2} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx
com precisão de 0{,}001. Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e 1/2.
  • A função a integrar é x^{2} e^{-x^{2}}.
    O objetivo é calcular um número aproximado para essa integral com erro absoluto no máximo 0{,}001.

Passo 2

Vamos manipular a integral para reduzi-la a uma parcela envolvendo \int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}dx, que conhecemos como integral ligada à função erro. A ideia é usar uma identidade obtida pela diferenciação de um produto.
Calcule a derivada de -\tfrac{1}{2}x e^{-x^{2}}:
\frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{2}x e^{-x^{2}}\bigr) = -\tfrac{1}{2}\Bigl(e^{-x^{2}} + x\cdot(-2x)e^{-x^{2}}\Bigr) = -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}} + x^{2} e^{-x^{2}}.
Rearranjando obtemos a identidade útil:
x^{2} e^{-x^{2}} = \frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{2}x e^{-x^{2}}\bigr) + \tfrac{1}{2}e^{-x^{2}}.

Passo 3

Integramos ambos os lados de 0 a 1/2:
\int_{0}^{1/2} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx = \left[-\tfrac{1}{2}x e^{-x^{2}}\right]_{0}^{1/2} + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx.
Avalie o primeiro termo na fronteira:
\left[-\tfrac{1}{2}x e^{-x^{2}}\right]_{0}^{1/2} = -\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} e^{-(1/2)^{2}} - 0 = -\tfrac{1}{4} e^{-1/4}.
Logo
\int_{0}^{1/2} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{4} e^{-1/4} + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx.
Portanto basta calcular \displaystyle \int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx com erro controlado.

Passo 4

A função e^{-x^{2}} não tem primitiva elementar expressável em termos de funções elementares; define-se a função erro
\operatorname{erf}(t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} e^{-u^{2}}\,du.
Assim
\int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr).
Para um cálculo numérico rigoroso e simples de \int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}dx usaremos a série de Taylor de e^{-x^{2}}, que converge rapidamente em [0,1/2]:
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{2n}.
Integrando termo a termo (válido por convergência uniforme no intervalo), obtemos uma série alternada para a integral:
\int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n!(2n+1)}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n+1}.
Como é uma série alternada com termos decrescentes em magnitude para x\le 1/2, o erro ao truncar após N termos tem módulo menor que o módulo do primeiro termo omitido (teste da série alternada). Portanto podemos truncar quando o próximo termo for <0{,}001 (na verdade muito menor, porque depois multiplicaremos por \tfrac{1}{2} e ainda subtrairemos outra quantidade).

Passo 5

Calculemos os primeiros termos da série para \displaystyle S:=\int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}dx.
Termos:
\begin{aligned} n=0 &: \quad a_{0}= \frac{1}{0!(1)}\left(\tfrac{1}{2}\right)= \tfrac{1}{2}=0{,}5,\\[4pt] n=1 &: \quad a_{1}= -\frac{1}{1!(3)}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}= -\frac{1}{24}\approx -0{,}0416666667,\\[4pt] n=2 &: \quad a_{2}= +\frac{1}{2!(5)}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}= +\frac{1}{320}=0{,}003125,\\[4pt] n=3 &: \quad a_{3}= -\frac{1}{6\cdot7}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}= -\frac{1}{5376}\approx -0{,}0001861111,\\[4pt] n=4 &: \quad a_{4}= +\frac{1}{24\cdot9}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{9}= +\frac{1}{110592}\approx 0{,}000009043. \end{aligned}
Somando até n=4 (truncamento seguro porque o termo seguinte tem ordem 10^{-7}):
\begin{aligned} S &\approx 0{,}5 - 0{,}0416666667 + 0{,}003125 - 0{,}0001861111 + 0{,}000009043\\\ &\approx 0{,}4612812652\ldots \end{aligned}
O próximo termo a_{5} tem magnitude \approx 3{,}7\times10^{-7}, então o erro ao truncar após n=4 é <4\times10^{-7}, muito menor que 0{,}001. Assim S está conhecido com excelente precisão:
\int_{0}^{1/2} e^{-x^{2}}\,dx = S \approx 0{,}46128115\\ \\ (\text{erro }<10^{-6}).]

Passo 6

Agora calculemos a integral original combinando os termos numéricos. Primeiro calcule e^{-1/4}:
e^{-1/4}\approx 0{,}7788007831.
Então
-\tfrac{1}{4}e^{-1/4}\approx -0{,}1947001958.
E
\tfrac{1}{2}S \approx \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}46128115 \approx 0{,}230640575.
Somando:
\int_{0}^{1/2} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx \approx -0{,}1947001958 + 0{,}230640575 \approx 0{,}0359403792.
A estimativa de erro global é dominada pelos erros já controlados (termos de série e aproximação de e^{-1/4}); o erro total é muito menor que 0{,}001. Assim podemos dar o valor com a precisão pedida.

Resposta

\,0{,}036

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