Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int 3 \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 3 \sqrt{x}\, dx.
Informações dadas e clarificações iniciais: a integranda é 3\sqrt{x}, onde \sqrt{x} é a raiz quadrada de x. O resultado deve ser uma primitiva (indefinida), ou seja, uma função cuja derivada é 3\sqrt{x}, e devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro, reescrevo a raiz como potência, porque é mais fácil aplicar as regras de integração com potências. Lembrando que
\sqrt{x} = x^{1/2},
logo a integral vira
\int 3 x^{1/2}\, dx.

Passo 3

Uso a regra do fator constante: se a é constante então
\int a\, f(x)\, dx = a \int f(x)\, dx.
Aqui a=3, portanto posso colocar 3 fora da integral:
3 \int x^{1/2}\, dx.
Isso facilita porque agora só preciso integrar x^{1/2}.

Passo 4

Aplico a regra da potência para integrais. A regra diz que, para n \neq -1,
\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Por que isso funciona? Porque ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} pelo teorema da derivada de potência obtemos x^n. Exemplo rápido: \int x^2\, dx = \dfrac{x^3}{3}+C, pois \dfrac{d}{dx}\big(\dfrac{x^3}{3}\big)=x^2.

Passo 5

No nosso caso n=\tfrac{1}{2}. Então
\int x^{1/2}\, dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C.
Simplificando a fração \dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}, obtemos
\int x^{1/2}\, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C.

Passo 6

Volto ao fator constante 3. Multiplicando:
3 \cdot \left(\frac{2}{3} x^{3/2}\right) + C = 2 x^{3/2} + C.
Também posso reescrever x^{3/2} como x\sqrt{x}, pois x^{3/2}=x^{1}\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}. Assim uma forma alternativa é 2x\sqrt{x}+C.

Passo 7

Faço uma verificação rápida por diferenciação para ter certeza: derivando 2 x^{3/2} temos
\frac{d}{dx}\big(2 x^{3/2}\big) = 2\cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 3 x^{1/2} = 3\sqrt{x},
que é exatamente a integranda. Portanto o resultado está correto.

Resposta

2 x^{3/2} + C
2 x \sqrt{x} + C

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