Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e clarificações iniciais: a integranda é
, onde
é a raiz quadrada de
. O resultado deve ser uma primitiva (indefinida), ou seja, uma função cuja derivada é
, e devemos acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro, reescrevo a raiz como potência, porque é mais fácil aplicar as regras de integração com potências. Lembrando que
logo a integral vira
Passo 3
Uso a regra do fator constante: se
é constante então
Aqui
, portanto posso colocar
fora da integral:
Isso facilita porque agora só preciso integrar
.
Passo 4
Aplico a regra da potência para integrais. A regra diz que, para
,
Por que isso funciona? Porque ao derivar
pelo teorema da derivada de potência obtemos
. Exemplo rápido:
, pois
.
Passo 5
No nosso caso
. Então
Simplificando a fração
, obtemos
Passo 6
Volto ao fator constante
. Multiplicando:
Também posso reescrever
como
, pois
. Assim uma forma alternativa é
.
Passo 7
Faço uma verificação rápida por diferenciação para ter certeza: derivando
temos
que é exatamente a integranda. Portanto o resultado está correto.