Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(\frac{3}{7} \sqrt{x^{2}}+\cos (x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{3}{7}\sqrt{x^{2}}+\cos(x)\right)\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{(i)}\\ \frac{3}{7}\sqrt{x^{2}}+\cos(x)\\ \text{é a função a ser integrada;}éçã
\text{(ii)}\\ \text{queremos uma antiderivada (integral indefinida), então devemos apresentar uma função }F(x)+C.ãçã

Passo 2

Primeiro fato importante sobre \sqrt{x^{2}}: para todo x\in\mathbb{R} temos
\sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert,
pois a raiz quadrada principal retorna sempre um valor não negativo, e \lvert x\rvert é justamente o valor absoluto de x. Logo podemos reescrever o integrando como
\frac{3}{7}\sqrt{x^{2}}+\cos(x)=\frac{3}{7}\lvert x\rvert+\cos(x).

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral: para constantes a e funções f,g,
\int\bigl(a f(x)+g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int\left(\frac{3}{7}\lvert x\rvert+\cos(x)\right)\,dx = \frac{3}{7}\int\lvert x\rvert\,dx + \int\cos(x)\,dx.

Passo 4

Calcule a parte simples \int\cos(x)\,dx. Sabemos que a derivada de \sin(x) é \cos(x), isto é,
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Portanto
\int\cos(x)\,dx=\sin(x)+C_1,
onde C_1 é constante de integração (que será absorvida na constante final).

Passo 5

Agora calcule \int\lvert x\rvert\,dx. É conveniente proceder por partes (casos) porque \lvert x\rvert é definida por:
\lvert x\rvert= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}]

Passo 6

Caso x\ge 0: temos \lvert x\rvert = x. Então
\int\lvert x\rvert\,dx = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C_2 \qquad (x\ge 0).

Passo 7

Caso x<0: temos \lvert x\rvert = -x. Então
\int\lvert x\rvert\,dx = \int (-x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2}+C_3 \qquad (x<0).

Passo 8

Unificando os dois casos em uma única expressão contínua: note que para x\ge 0 temos \dfrac{x\lvert x\rvert}{2}=\dfrac{x\cdot x}{2}=\dfrac{x^{2}}{2}, e para x<0 temos \dfrac{x\lvert x\rvert}{2}=\dfrac{x\cdot(-x)}{2}=-\dfrac{x^{2}}{2}. Portanto uma antiderivada válida para todos os x é
\int\lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2}+C_4.

Passo 9

Multiplicando por \dfrac{3}{7}, obtemos
\frac{3}{7}\int\lvert x\rvert\,dx = \frac{3}{7}\cdot\frac{x\lvert x\rvert}{2} + C_5 = \frac{3}{14}\,x\lvert x\rvert + C_5.

Passo 10

Somando com a parte que vimos da \cos, a antiderivada da função original é
F(x)=\frac{3}{14}\,x\lvert x\rvert + \sin(x) + C,
onde C é a constante de integração final.

Passo 11

Verificação rápida (derivando para x\neq 0): como \dfrac{d}{dx}\bigl(x\lvert x\rvert\bigr)=2\lvert x\rvert para x\neq 0, temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{14}x\lvert x\rvert + \sin(x)\right) = \frac{3}{14}\cdot 2\lvert x\rvert + \cos(x) = \frac{3}{7}\lvert x\rvert + \cos(x) = \frac{3}{7}\sqrt{x^{2}}+\cos(x),
ou seja, a derivada de F é o integrando (para x\neq 0), conforme esperado.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{14}\,x\lvert x\rvert + \sin(x) + C

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