Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas no enunciado:
Passo 2
Primeiro fato importante sobre
: para todo
temos
pois a raiz quadrada principal retorna sempre um valor não negativo, e
é justamente o valor absoluto de
. Logo podemos reescrever o integrando como
Passo 3
Usamos a propriedade de linearidade da integral: para constantes
e funções
,
Aplicando aqui:
Passo 4
Calcule a parte simples
. Sabemos que a derivada de
é
, isto é,
Portanto
onde
é constante de integração (que será absorvida na constante final).
Passo 5
Agora calcule
. É conveniente proceder por partes (casos) porque
é definida por:
Passo 6
Caso
: temos
. Então
Passo 7
Caso
: temos
. Então
Passo 8
Unificando os dois casos em uma única expressão contínua: note que para
temos
, e para
temos
. Portanto uma antiderivada válida para todos os
é
Passo 9
Multiplicando por
, obtemos
Passo 10
Somando com a parte que vimos da
, a antiderivada da função original é
onde
é a constante de integração final.
Passo 11
Verificação rápida (derivando para
): como
para
, temos
ou seja, a derivada de
é o integrando (para
), conforme esperado.