Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - Quer-se uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que .
Não há restrições adicionais. Vamos encontrar uma primitiva.
Passo 2
Observação-chave (motivação para o método): dentro do exponencial aparece a função
. A derivada de
é
, que é proporcional ao fator
que multiplica o exponencial. Isso sugere usar a substituição (u-substituição), que é útil quando a integranda tem a forma
.
Breve aula sobre substituição:
- A ideia é definir uma nova variável
. Então . - Se a integral for da forma
, ao trocar por obtemos , que costuma ser mais simples. - Aqui
; então vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Faça a substituição definindo
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
(porque ele aparece na integral original) dá
Expliquei:
é a diferencial associada a
; aqui transformamos o pedaço
em algo em função de
.
Passo 4
Substituindo na integral original: o fator exponencial
vira
e
vira
. Assim
Tirando a constante
para fora,
Passo 5
Integral conhecida: a primitiva de
em relação a
é
. Assim
onde
é a constante de integração. Voltando à variável
usando
, obtemos a primitiva desejada:
Passo 6
Verificação (útil na prova): diferenciar
para checar se retorna a integranda.
Calcule . Pelo encadeamento (regra da cadeia),
Calcule
Como
, segue
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: quando vir uma composição
(ou outra função composta) multiplicada por algo parecido com
, tente imediatamente
. Se faltar uma constante, ajuste dividindo ou multiplicando por ela (aqui dividimos por
).
Exemplo rápido semelhante:
. Tomando
temos
e
, então a integral vira
.