Calcule as integrais indefinidas abaixo:
(1,0) \int x^{2} e^{x^{3}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2} e^{x^{3}-4}\, dx.
Informações dadas:
  • A integranda é x^{2} e^{x^{3}-4}.
  • Quer-se uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2} e^{x^{3}-4}.
    Não há restrições adicionais. Vamos encontrar uma primitiva.

Passo 2

Observação-chave (motivação para o método): dentro do exponencial aparece a função x^{3}-4. A derivada de x^{3}-4 é 3x^{2}, que é proporcional ao fator x^{2} que multiplica o exponencial. Isso sugere usar a substituição (u-substituição), que é útil quando a integranda tem a forma f(g(x))g'(x).
Breve aula sobre substituição:
  • A ideia é definir uma nova variável u=g(x). Então du=g'(x)\,dx.
  • Se a integral for da forma \int f(g(x))g'(x)\,dx, ao trocar por u obtemos \int f(u)\,du, que costuma ser mais simples.
  • Aqui g(x)=x^{3}-4; então vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Faça a substituição definindo
u = x^{3}-4.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx (porque ele aparece na integral original) dá
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Expliquei: du é a diferencial associada a u; aqui transformamos o pedaço x^{2}\,dx em algo em função de du.

Passo 4

Substituindo na integral original: o fator exponencial e^{x^{3}-4} vira e^{u} e x^{2}\,dx vira \tfrac{1}{3}\,du. Assim
\int x^{2} e^{x^{3}-4}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{1}{3}\,du.
Tirando a constante \tfrac{1}{3} para fora,
\int x^{2} e^{x^{3}-4}\,dx = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.

Passo 5

Integral conhecida: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}. Assim
\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C,
onde C é a constante de integração. Voltando à variável x usando u=x^{3}-4, obtemos a primitiva desejada:
F(x)=\frac{1}{3}e^{x^{3}-4}+C.

Passo 6

Verificação (útil na prova): diferenciar F(x) para checar se retorna a integranda.
Calcule F'(x). Pelo encadeamento (regra da cadeia),
F'(x)=\frac{1}{3}e^{x^{3}-4}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-4\bigr).
Como \dfrac{d}{dx}(x^{3}-4)=3x^{2}, segue
F'(x)=\frac{1}{3}e^{x^{3}-4}\cdot 3x^{2} = x^{2} e^{x^{3}-4},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: quando vir uma composição e^{g(x)} (ou outra função composta) multiplicada por algo parecido com g'(x), tente imediatamente u=g(x). Se faltar uma constante, ajuste dividindo ou multiplicando por ela (aqui dividimos por 3).
Exemplo rápido semelhante: \displaystyle \int x e^{x^{2}}\,dx. Tomando u=x^{2} temos du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}du, então a integral vira \tfrac{1}{2}\int e^{u}du=\tfrac{1}{2}e^{u}+C=\tfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C.

Resposta

\dfrac{1}{3}e^{x^{3}-4}+C

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