Considere as funções
e
, onde
é um número real. Se
é injetiva e sen
, prove que
também é injetiva.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções definidas em
:
-
, . -
, , onde .
Condições/fatos fornecidos:
- Foi afirmado que
é injetiva. - Sabe-se que
.
O que o exercício pede:
- Provar que
também é injetiva, usando as informações dadas (sem pedir nada mais).
Passo 2
Lembrete didático: o que significa “injetiva”?
Uma função é injetiva quando valores distintos do domínio dão imagens distintas. Formalmente,
Uma função
Estratégia prática para provar injetividade de
: assumir
e mostrar que isso implica
.
Passo 3
Vamos manipular
algebricamente para relacioná-la com
. Use a identidade trigonométrica da diferença de ângulos para o seno:
Dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero em
), obtemos
Separe os termos:
Portanto escrevemos
em função de
:
Passo 4
Agora uma observação importante sobre injetividade de transformações lineares simples: para um número fixo
e
reais, a função
dada por
é injetiva exatamente quando
. Prova curta: se
então
, logo
quando
.
No nosso caso,
e
. Pelo enunciado
, portanto a função
é injetiva.
Passo 5
Use a composição de funções:
, isto é,
. Sabemos:
-
é injetiva por hipótese. -
é injetiva porque .
Fato útil (didático): a composição de duas funções injetivas é injetiva. Prova rápida: se
e
são injetivas e
, então pela injetividade de
segue
, e pela injetividade de
segue
.
Aplicando isso ao nosso caso,
é injetiva.
Alternativa direta (mesma ideia, só que escrita como prova direta): suponha
. Então
Cancelando
e dividindo por
obtemos
. Pela injetividade de
segue
. Logo
é injetiva.