Considere as funções f:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{cotg} x e g:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{\operatorname{sen}(a-x)}{\operatorname{sen} x}, onde a é um número real. Se f é injetiva e sen a \neq 0, prove que g também é injetiva.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções definidas em (0,\pi):
  • f:(0,\pi)\to\mathbb{R}, f(x)=\operatorname{cotg} x.
  • g:(0,\pi)\to\mathbb{R}, g(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(a-x)}{\operatorname{sen} x}, onde a\in\mathbb{R}.
Condições/fatos fornecidos:
  • Foi afirmado que f é injetiva.
  • Sabe-se que \operatorname{sen} a \neq 0.
O que o exercício pede:
  • Provar que g também é injetiva, usando as informações dadas (sem pedir nada mais).

Passo 2

Lembrete didático: o que significa “injetiva”?
Uma função h é injetiva quando valores distintos do domínio dão imagens distintas. Formalmente,
h \text{ é injetiva } \iff \big(\forall x_1,x_2,\; h(x_1)=h(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\big).é
Estratégia prática para provar injetividade de g: assumir g(x_1)=g(x_2) e mostrar que isso implica x_1=x_2.

Passo 3

Vamos manipular g(x) algebricamente para relacioná-la com f(x)=\operatorname{cotg} x. Use a identidade trigonométrica da diferença de ângulos para o seno:
\operatorname{sen}(a-x)=\operatorname{sen}a\cos x-\cos a\operatorname{sen} x.
Dividindo ambos os lados por \operatorname{sen} x (que é diferente de zero em (0,\pi)), obtemos
g(x)=\frac{\operatorname{sen}(a-x)}{\operatorname{sen} x} =\frac{\operatorname{sen}a\cos x-\cos a\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x}.
Separe os termos:
g(x)=\operatorname{sen}a\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}-\cos a =\operatorname{sen}a\cdot\operatorname{cotg} x-\cos a.
Portanto escrevemos g em função de f:
g(x)=\operatorname{sen}a\cdot f(x)-\cos a.

Passo 4

Agora uma observação importante sobre injetividade de transformações lineares simples: para um número fixo s e c reais, a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
h(y)=s y - c
é injetiva exatamente quando s\neq 0. Prova curta: se h(y_1)=h(y_2) então s(y_1-y_2)=0, logo y_1=y_2 quando s\neq0.
No nosso caso, s=\operatorname{sen}a e c=\cos a. Pelo enunciado \operatorname{sen}a\neq0, portanto a função
h(y)=\operatorname{sen}a\cdot y - \cos a
é injetiva.

Passo 5

Use a composição de funções: g(x)=h(f(x)), isto é, g=h\circ f. Sabemos:
  • f é injetiva por hipótese.
  • h é injetiva porque \operatorname{sen}a\neq0.
Fato útil (didático): a composição de duas funções injetivas é injetiva. Prova rápida: se h e f são injetivas e h(f(x_1))=h(f(x_2)), então pela injetividade de h segue f(x_1)=f(x_2), e pela injetividade de f segue x_1=x_2.
Aplicando isso ao nosso caso, g=h\circ f é injetiva.
Alternativa direta (mesma ideia, só que escrita como prova direta): suponha g(x_1)=g(x_2). Então
\operatorname{sen}a\cdot f(x_1)-\cos a=\operatorname{sen}a\cdot f(x_2)-\cos a.
Cancelando -\cos a e dividindo por \operatorname{sen}a\neq0 obtemos f(x_1)=f(x_2). Pela injetividade de f segue x_1=x_2. Logo g é injetiva.

Resposta

g é injetiva.

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