Um CSTR é usado para decompor uma solução líquida de A. A decomposição é irreversível e de primeira ordem com constante de velocidade \mathrm{k}=3,45 \mathrm{~h}^{-1}. O volume do reator é 10 \mathrm{~m}^{3}. Qual a velocidade de fluxo volumétrico da solução que pode ser tratada nesse reator se 95% de decomposição for desejada (volume constante)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
  • Dados:
    • constante de velocidade: k=3{,}45\\ \mathrm{h^{-1}}.
    • volume do reator: V=10\\ \mathrm{m^{3}}.
    • fração de decomposição desejada: 95\%, ou seja X=0{,}95.
    • reator CSTR operando em volume constante (estado estacionário).
  • Pergunta:
    • Qual a velocidade de fluxo volumétrico Q (unidade \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}) que permite X=0{,}95?

Passo 2

Vamos definir variáveis e montar o balanço de massa no regime estacionário para o componente A em um CSTR simples.
  • Q: vazão volumétrica de alimentação e saída ( \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}).
  • C_{A0}: concentração de A na alimentação ( \mathrm{mol\,m^{-3}} — o valor numérico cancela).
  • C_{A}: concentração de A na saída/estado estacionário.
  • Conversão (fração reagida): X=\frac{C_{A0}-C_{A}}{C_{A0}}.
Balanço molar estacionário (entrada - saída - reação = 0):
Q C_{A0} - Q C_{A} - k V C_{A} = 0.
Expliquei: Q C_{A0} é o fluxo molar entrando, Q C_{A} é o que sai, e k V C_{A} é a taxa total de consumo por reação (cinética de primeira ordem: taxa volumétrica k C_A, multiplicada por V).

Passo 3

Manipulando a equação para expressar Q em função de X:
Partindo de
Q C_{A0} - Q C_{A} - k V C_{A} = 0,
fatorando Q:
Q(C_{A0}-C_{A}) = k V C_{A}.
Usando C_{A}=C_{A0}(1-X) e C_{A0}-C_{A}=C_{A0}X, divide-se por C_{A0} e obtém-se
Q X = k V (1-X).
Daí isolamos Q:
Q=\frac{k V (1-X)}{X}.
Esta é a fórmula prática para Q em um CSTR com reação de primeira ordem e conversão X.

Passo 4

Substituindo os números fornecidos:
Calcule o numerador:
k V (1-X)=3{,}45\cdot 10\cdot 0{,}05 = 1{,}725.
Agora
Q=\frac{1{,}725}{0{,}95}=1{,}815789\ldots\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}.
Arredondando razoavelmente para dois algarismos decimais:
Q\approx 1{,}82\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}.

Passo 5

Interpretação física rápida e checagem alternativa: tempo de residência médio \tau é \tau=V/Q. A fórmula alternativa para conversão em CSTR de 1ª ordem é
X=\frac{k\tau}{1+k\tau}.
Resolvendo para \tau:
\tau=\frac{X}{k(1-X)}.
Com X=0{,}95 isso dá
\tau=\frac{0{,}95}{3{,}45\cdot 0{,}05}=\frac{0{,}95}{0{,}1725}=5{,}5087\ldots\\ \mathrm{h}.
Então Q=V/\tau=10/5{,}5087\ldots\approx1{,}8158\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}, consistente com o cálculo anterior. Interpretando: cada porção do fluido precisa ficar em média cerca de 5{,}51 horas no reator para atingir 95\% de conversão.

Passo 6

Resumo prático para a prova: use a fórmula \;Q=\dfrac{kV(1-X)}{X}\; para CSTR com cinética de primeira ordem. Substitua os valores e calcule. Você já tem o procedimento pronto.

Resposta

Q\approx 1{,}82\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}

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