Calcule as integrais abaixo:
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{3}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função x(1+x^{3}).
  • Os limites de integração são a=-1 e b=2.
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Estratégia de resolução (bem simples): usar a linearidade da integral para separar termos e em seguida aplicar a regra da potência para integrar cada monômio. Regras que vamos usar:
  • Linearidade: \displaystyle \int (f+g)=\int f+\int g e \displaystyle \int c\cdot f = c\int f para constante c.
  • Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): se F'(x)=f(x), então \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui cada símbolo significa: x é variável, n é expoente, C é constante de integração (não usada em integrais definidas, mas útil para antiderivadas).

Passo 3

Expandir o integrando para separar termos:
x(1+x^{3}) = x + x^{4}.
Portanto
\int_{-1}^{2} x(1+x^{3})\,dx = \int_{-1}^{2} x\,dx + \int_{-1}^{2} x^{4}\,dx.

Passo 4

Calcular antiderivadas termo a termo usando a regra da potência.
  • Para \displaystyle \int x\,dx, aqui x = x^{1}, então aplicando a regra:
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
  • Para \displaystyle \int x^{4}\,dx:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^{5}}{5}.
Logo uma antiderivada comum para a soma é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5}.
Isso significa que F'(x)=x+x^{4}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar F em b=2 e em a=-1 e subtrair.
Primeiro F(2):
F(2)=\frac{2^{2}}{2} + \frac{2^{5}}{5} = \frac{4}{2} + \frac{32}{5} = 2 + \frac{32}{5}.
Colocando em denominador comum 5:
2 = \frac{10}{5}\quad\Rightarrow\quad F(2)=\frac{10}{5}+\frac{32}{5}=\frac{42}{5}.
Agora F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2} + \frac{(-1)^{5}}{5} = \frac{1}{2} + \frac{-1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}.
Colocando em denominador comum 10:
\frac{1}{2}=\frac{5}{10},\quad \frac{1}{5}=\frac{2}{10}\quad\Rightarrow\quad F(-1)=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}.

Passo 6

Calcular a diferença F(2)-F(-1):
\int_{-1}^{2} x(1+x^{3})\,dx = F(2)-F(-1) = \frac{42}{5} - \frac{3}{10}.
Colocando em denominador comum 10:
\frac{42}{5}=\frac{84}{10}\quad\Rightarrow\quad \frac{84}{10}-\frac{3}{10}=\frac{81}{10}.
Em forma decimal (usando vírgula em notação portuguesa): \frac{81}{10}=8{,}1.

Resposta

\dfrac{81}{10} (que é 8{,}1).

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