Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x \sin \left(2 x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \sin\!\left(2 x^{2}-1\right)\,dx.
Informações dadas e o que se espera:
  • Integramos a função x\sin\!\left(2x^{2}-1\right) em relação a x.
  • O resultado deve conter a constante de integração C.
  • Não há outras condições (por exemplo, limites), é uma integral indefinida.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática da técnica): substituição (também chamada de mudança de variável).
  • Ideia principal: quando a integral tem a forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, vale a substituição \,u=g(x)\, e du=g'(x)\,dx, porque então a integral vira \int f(u)\,du, que é normalmente mais fácil.
  • Formalmente: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx e
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
  • Cada símbolo: f é a função externa (a que recebe g(x)), g é a função dentro, g'(x) é a derivada de g em relação a x; u é a nova variável. Após integrar em u voltamos a x com u=g(x).
Exemplo curto para fixar: calcular \int \cos(3x)\,dx.
  • Faça u=3x, então du=3\,dx ou dx=\tfrac{1}{3}du.
  • Substituindo: \int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{3}du = \tfrac{1}{3}\sin(u)+C = \tfrac{1}{3}\sin(3x)+C.

Passo 3

Aplicando a substituição à integral dada.
  • Observe a composição \sin\!\left(2x^{2}-1\right). A função interna natural é g(x)=2x^{2}-1.
  • Calcule a derivada de g: g'(x)=\frac{d}{dx}\left(2x^{2}-1\right)=4x.
  • Então tome a substituição
u = 2x^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad du = 4x\,dx.
  • Reescrevendo x\,dx em função de du:
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 4

Fazer a substituição na integral.
  • Substituindo u e x\,dx obtemos
\int x \sin\!\left(2x^{2}-1\right)\,dx = \int \sin(u)\cdot\frac{1}{4}\,du.
  • Colocando a constante fora:
\int x \sin\!\left(2x^{2}-1\right)\,dx = \frac{1}{4}\int \sin(u)\,du.

Passo 5

Integrar em u e voltar para x.
  • Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C.
  • Portanto
\frac{1}{4}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{4}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{1}{4}\cos(u)+C.
  • Voltando à variável x com u=2x^{2}-1:
\int x \sin\!\left(2x^{2}-1\right)\,dx = -\frac{1}{4}\cos\!\left(2x^{2}-1\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para conferir).
  • Calcule a derivada de -\tfrac{1}{4}\cos\!\left(2x^{2}-1\right):
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}\cos\!\left(2x^{2}-1\right)\right) = -\frac{1}{4}\bigl(-\sin(2x^{2}-1)\bigr)\cdot 4x = x\sin(2x^{2}-1),
que é exatamente a função integranda. Logo está correto.

Resposta

-\dfrac{1}{4}\cos\!\left(2x^{2}-1\right)+C

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