Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se espera:
- Integramos a função
em relação a . - O resultado deve conter a constante de integração
. - Não há outras condições (por exemplo, limites), é uma integral indefinida.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática da técnica): substituição (também chamada de mudança de variável).
- Ideia principal: quando a integral tem a forma
, vale a substituição e , porque então a integral vira , que é normalmente mais fácil. - Formalmente: se
então e
- Cada símbolo:
é a função externa (a que recebe ), é a função dentro, é a derivada de em relação a ; é a nova variável. Após integrar em voltamos a com .
Exemplo curto para fixar: calcular
.
- Faça
, então ou . - Substituindo:
.
Passo 3
Aplicando a substituição à integral dada.
- Observe a composição
. A função interna natural é . - Calcule a derivada de
: . - Então tome a substituição
- Reescrevendo
em função de :
Passo 4
Fazer a substituição na integral.
- Substituindo
e obtemos
- Colocando a constante fora:
Passo 5
Integrar em
e voltar para
.
- Sabemos que
- Portanto
- Voltando à variável
com :
Passo 6
Verificação rápida (derivando para conferir).
- Calcule a derivada de
:
que é exatamente a função integranda. Logo está correto.