Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: a função integranda é
e o intervalo de integração é
. Não há outras condições ocultas.
Passo 2
Apresento o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, que vou usar: se
é contínua em
e
é uma primitiva (antiderivada) de
em
, ou seja,
para todo
em
, então
Aqui
e
são os limites de integração,
é a função que estamos integrando, e
é qualquer função cuja derivada seja
. A ideia prática: para calcular a integral definida, ache uma primitiva e avalie a diferença de valores nos extremos.
Passo 3
Agora preciso encontrar uma primitiva
de
. Vou usar o raciocínio do “contrário da derivada” (antiderivação) e a regra da cadeia invertida:
- Sabemos que a derivada de
em relação a é . Em notação: se é uma função de , então . - Aqui temos
. Então . - Portanto
tem derivada . Para obter exatamente como derivada, basta dividir por .
Concluo que uma primitiva é
porque
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2:
Calculo os senos:
e
. Então
Passo 5
Intuição rápida:
oscila com período
, no intervalo
tem áreas positivas e negativas que se cancelam exatamente, por isso a integral é zero. Bom trabalho — mesmo que esteja correndo, esse problema é daqueles em que achar a primitiva e avaliar nos extremos resolve tudo.