Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \cos(2x) e o intervalo de integração é [0,\pi]. Não há outras condições ocultas.

Passo 2

Apresento o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, que vou usar: se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f em [a,b], ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a e b são os limites de integração, f(x) é a função que estamos integrando, e F(x) é qualquer função cuja derivada seja f(x). A ideia prática: para calcular a integral definida, ache uma primitiva e avalie a diferença de valores nos extremos.

Passo 3

Agora preciso encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=\cos(2x). Vou usar o raciocínio do “contrário da derivada” (antiderivação) e a regra da cadeia invertida:
  • Sabemos que a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u). Em notação: se u é uma função de x, então \dfrac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
  • Aqui temos u(x)=2x. Então \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2.
  • Portanto \sin(2x) tem derivada 2\cos(2x). Para obter exatamente \cos(2x) como derivada, basta dividir por 2.
Concluo que uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{2}\sin(2x),
porque
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\sin(2x)=\frac{1}{2}\cdot(2\cos(2x))=\cos(2x).

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2:
\int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx = F(\pi)-F(0) = \frac{1}{2}\sin(2\pi) - \frac{1}{2}\sin(0).
Calculo os senos: \sin(2\pi)=0 e \sin(0)=0. Então
\int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{1}{2}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Intuição rápida: \cos(2x) oscila com período \pi, no intervalo [0,\pi] tem áreas positivas e negativas que se cancelam exatamente, por isso a integral é zero. Bom trabalho — mesmo que esteja correndo, esse problema é daqueles em que achar a primitiva e avaliar nos extremos resolve tudo.

Resposta

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