Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(2 x^{3}-x^{2}+4 x-7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Informações do enunciado que vamos usar:
\displaystyle \int\left(2 x^{3}-x^{2}+4 x-7\right) d x.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de \displaystyle 2 x^{3}-x^{2}+4 x-7, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2 x^{3}-x^{2}+4 x-7. Não começamos a calcular ainda, só anotamos o que temos.

Passo 2

Propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx. Isso significa que podemos integrar termo a termo.
  • Regra do fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx, onde a é constante.
    Essas propriedades permitem separar \displaystyle \int\left(2 x^{3}-x^{2}+4 x-7\right) dx em somas de integrais mais simples.

Passo 3

Regra principal que vamos aplicar (a “fórmula do expoente”):
\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente qualquer (número real, exceto -1), e C é a constante de integração. Essa fórmula diz: ao integrar, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.

Passo 4

Aplicando linearidade e fator constante, escrevemos a integral como soma de integrais simples:
\displaystyle \int\left(2 x^{3}-x^{2}+4 x-7\right) dx =2\int x^{3}dx-\int x^{2}dx+4\int x\,dx-7\int dx.
Agora vamos calcular cada uma destas integrais usando a regra do expoente.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int x^{3}dx pela regra do expoente:
aumentamos o expoente 3 para 4 e dividimos por 4:
\displaystyle \int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}+C_{1}.
Aqui C_{1} é uma constante de integração que vamos combinar depois com as outras constantes em uma única C.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int x^{2}dx pela regra do expoente:
aumentamos 2 para 3 e dividimos por 3:
\displaystyle \int x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}+C_{2}.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int x\,dx (aqui n=1):
aumentamos para 2 e dividimos por 2:
\displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{3}.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int dx. Lembre que \displaystyle \int 1\,dx=x+C_{4}. Portanto:
\displaystyle \int dx=x+C_{4}.

Passo 9

Agora voltamos à combinação com os fatores constantes que tínhamos no Passo 4:
2\int x^{3}dx=2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{2},
-\int x^{2}dx=-\frac{x^{3}}{3},
4\int x\,dx=4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2},
-7\int dx=-7x.
Somando tudo e juntando as constantes C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} numa única constante C, obtemos a primitiva completa.

Passo 10

Escrevendo a primitiva final (simplificada) e incluindo a constante de integração C:
\displaystyle F(x)=\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}-7x+C.

Passo 11

Verificação rápida (uma boa prática): derivando F(x) devemos retornar ao integrando.
Derivadas termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4}}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 4x^{3}=2x^{3},
\frac{d}{dx}\left(-\frac{x^{3}}{3}\right)=-\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}=-x^{2},
\frac{d}{dx}\left(2x^{2}\right)=4x,
\frac{d}{dx}\left(-7x\right)=-7,
a constante C some ao derivar. Somando: 2x^{3}-x^{2}+4x-7, que é exatamente o integrando, logo nossa primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}-7x+C

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