Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Informações do enunciado que vamos usar:
.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de , ou seja, uma função
tal que
. Não começamos a calcular ainda, só anotamos o que temos.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de
Passo 2
Propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade da integral:
. Isso significa que podemos integrar termo a termo. - Regra do fator constante:
, onde é constante.
Essas propriedades permitem separarem somas de integrais mais simples.
Passo 3
Regra principal que vamos aplicar (a “fórmula do expoente”):
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente qualquer (número real, exceto
), e
é a constante de integração. Essa fórmula diz: ao integrar, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.
Passo 4
Aplicando linearidade e fator constante, escrevemos a integral como soma de integrais simples:
Agora vamos calcular cada uma destas integrais usando a regra do expoente.
Passo 5
Calcular
pela regra do expoente:
aumentamos o expoente para
e dividimos por
:
aumentamos o expoente
Aqui
é uma constante de integração que vamos combinar depois com as outras constantes em uma única
.
Passo 6
Calcular
pela regra do expoente:
aumentamos para
e dividimos por
:
aumentamos
Passo 7
Calcular
(aqui
):
aumentamos para e dividimos por
:
aumentamos para
Passo 8
Calcular
. Lembre que
. Portanto:
Passo 9
Agora voltamos à combinação com os fatores constantes que tínhamos no Passo 4:
Somando tudo e juntando as constantes
numa única constante
, obtemos a primitiva completa.
Passo 10
Escrevendo a primitiva final (simplificada) e incluindo a constante de integração
:
Passo 11
Verificação rápida (uma boa prática): derivando
devemos retornar ao integrando.
Derivadas termo a termo:
Derivadas termo a termo:
a constante
some ao derivar. Somando:
, que é exatamente o integrando, logo nossa primitiva está correta.