Considere as funções
Mostre que
e
são primitivas da função
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e
Pede-se para mostrar que
e
são primitivas da função
Isto significa que precisamos verificar que as derivadas de
e de
coincidem com
para todo
em que tudo está definido. Vou calcular as derivadas passo a passo, explicando cada regra que eu uso.
Passo 2
Derivada da primeira parcela de
. Lembrando a fórmula padrão para a derivada da função arco-tangente:
Explicação curta:
é a função inversa de
restrita; sua derivada é a recíproca da derivada de
avaliada na tangente, o que dá
. Então já temos a primeira parte de
.
Passo 3
Derivada da segunda parcela de
, isto é de
. Vou usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
e
são diferenciáveis e
, então
Aqui tomo
e
. Então
e
. Aplicando:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 4
Somando as duas derivadas que obtivemos para
: a derivada de
é
(Passo 2) e a da fração é
(Passo 3). Logo
Comparando com a expressão dada de
, vemos que
. Assim
é uma primitiva de
.
Passo 5
Agora
. Primeiro a derivada de
. Conhecemos a derivada da função
:
Portanto, ao colocar o sinal negativo na frente,
Pequena explicação: a derivada de
tem sinal negativo; multiplicando por
ficamos com sinal positivo, dando novamente a primeira parcela de
.
Passo 6
Agora dérivarei a parcela racional
usando de novo a regra do quociente. Tome
e
. Então
e
. Aplicando a regra do quociente:
Vou expandir e simplificar o numerador com calma:
Subtraindo:
Portanto
Passo 7
Somando as derivadas para
: da parte
obtivemos
(Passo 5) e da fração obtivemos
(Passo 6). Logo
Isto coincide exatamente com
. Portanto
também é uma primitiva de
.