Considere as funções
G_{1}(x)=\arctan (x)+\frac{x}{1+x^{2}} \quad \text { e } \quad G_{2}(x)=-\operatorname{arccot}(x)+\frac{x^{2}+x+1}{1+x^{2}} .
Mostre que G_{1} e G_{2} são primitivas da função
g(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1-x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} .

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
G_{1}(x)=\arctan(x)+\frac{x}{1+x^{2}}
e
G_{2}(x)=-\operatorname{arccot}(x)+\frac{x^{2}+x+1}{1+x^{2}}.
Pede-se para mostrar que G_{1} e G_{2} são primitivas da função
g(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1-x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}.
Isto significa que precisamos verificar que as derivadas de G_{1} e de G_{2} coincidem com g(x) para todo x em que tudo está definido. Vou calcular as derivadas passo a passo, explicando cada regra que eu uso.

Passo 2

Derivada da primeira parcela de G_{1}. Lembrando a fórmula padrão para a derivada da função arco-tangente:
\frac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Explicação curta: \arctan é a função inversa de \tan restrita; sua derivada é a recíproca da derivada de \tan avaliada na tangente, o que dá \dfrac{1}{1+x^2}. Então já temos a primeira parte de g(x).

Passo 3

Derivada da segunda parcela de G_{1}, isto é de \dfrac{x}{1+x^{2}}. Vou usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui tomo u(x)=x e v(x)=1+x^{2}. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x. Aplicando:
\left(\frac{x}{1+x^{2}}\right)'=\frac{1\cdot(1+x^{2})-x\cdot(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
1\cdot(1+x^{2})-x\cdot(2x)=1+x^{2}-2x^{2}=1-x^{2}.
Portanto
\left(\frac{x}{1+x^{2}}\right)'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas que obtivemos para G_{1}: a derivada de \arctan(x) é \dfrac{1}{1+x^{2}} (Passo 2) e a da fração é \dfrac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} (Passo 3). Logo
G_{1}'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Comparando com a expressão dada de g(x), vemos que G_{1}'(x)=g(x). Assim G_{1} é uma primitiva de g.

Passo 5

Agora G_{2}. Primeiro a derivada de -\operatorname{arccot}(x). Conhecemos a derivada da função \operatorname{arccot}(x):
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccot}(x)\big)=-\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto, ao colocar o sinal negativo na frente,
\frac{d}{dx}\big(-\operatorname{arccot}(x)\big)= -\left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Pequena explicação: a derivada de \operatorname{arccot} tem sinal negativo; multiplicando por -1 ficamos com sinal positivo, dando novamente a primeira parcela de g(x).

Passo 6

Agora dérivarei a parcela racional \dfrac{x^{2}+x+1}{1+x^{2}} usando de novo a regra do quociente. Tome u(x)=x^{2}+x+1 e v(x)=1+x^{2}. Então u'(x)=2x+1 e v'(x)=2x. Aplicando a regra do quociente:
\left(\frac{x^{2}+x+1}{1+x^{2}}\right)'=\frac{(2x+1)(1+x^{2})-(x^{2}+x+1)(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.
Vou expandir e simplificar o numerador com calma:
(2x+1)(1+x^{2})=2x+1+2x^{3}+x^{2}=2x^{3}+x^{2}+2x+1,
(x^{2}+x+1)(2x)=2x^{3}+2x^{2}+2x.
Subtraindo:
(2x^{3}+x^{2}+2x+1)-(2x^{3}+2x^{2}+2x)=1-x^{2}.
Portanto
\left(\frac{x^{2}+x+1}{1+x^{2}}\right)'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 7

Somando as derivadas para G_{2}: da parte -\operatorname{arccot}(x) obtivemos \dfrac{1}{1+x^{2}} (Passo 5) e da fração obtivemos \dfrac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} (Passo 6). Logo
G_{2}'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Isto coincide exatamente com g(x). Portanto G_{2} também é uma primitiva de g.

Resposta

G_{1}'(x)=g(x)
G_{2}'(x)=g(x)

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