Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas: a função a integrar é
. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (por exemplo, valor inicial), então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: aqui podemos resolver de duas formas simples — expandindo o quadrado e integrando termo a termo, ou usando a substituição
. Vou optar por expandir e integrar termo a termo porque é a maneira mais direta e utiliza regras básicas que você precisa dominar. No final mostro a substituição como alternativa rápida. Lembre-se: integrar termo a termo é permitido por causa da linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral).
Passo 3
Expanda
usando a identidade
. Aqui
e
, portanto
Passo 4
Escreva a integral como soma de integrais (propriedade da linearidade):
Explicação rápida das regras usadas:
- Linearidade:
. - Constante fora da integral:
, onde é constante.
Passo 5
Use a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
é o expoente da potência; por exemplo, se temos
, então
e a primitiva será
.
Passo 6
Calcule
aplicando a regra da potência com
:
Passo 7
Calcule
. Primeiro
com
dá
Multiplicando por
(constante que estava fora da integral) obtemos
Passo 8
Calcule
. A integral da função constante
é a função identidade
, porque
. Assim
Passo 9
Some os resultados dos passos anteriores e acrescente a constante de integração
:
Esse é um resultado correto e explícito.
Passo 10
Alternativa rápida (substituição): se fizermos
, então
e a integral fica
Essas duas formas são equivalentes, já que
, e a diferença de
é absorvida pela constante de integração.