Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int(x+1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x+1)^{2}\,dx.
Informações relevantes dadas: a função a integrar é (x+1)^{2}. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=(x+1)^{2}. Não há outras condições (por exemplo, valor inicial), então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: aqui podemos resolver de duas formas simples — expandindo o quadrado e integrando termo a termo, ou usando a substituição u=x+1. Vou optar por expandir e integrar termo a termo porque é a maneira mais direta e utiliza regras básicas que você precisa dominar. No final mostro a substituição como alternativa rápida. Lembre-se: integrar termo a termo é permitido por causa da linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral).

Passo 3

Expanda (x+1)^{2} usando a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=x e b=1, portanto
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.

Passo 4

Escreva a integral como soma de integrais (propriedade da linearidade):
\int (x+1)^{2}\,dx = \int (x^{2}+2x+1)\,dx = \int x^{2}\,dx + 2\int x\,dx + \int 1\,dx.
Explicação rápida das regras usadas:
  • Linearidade: \int (f+g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx.
  • Constante fora da integral: \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, onde a é constante.

Passo 5

Use a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente da potência; por exemplo, se temos x^{2}, então n=2 e a primitiva será \dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Calcule \int x^{2}\,dx aplicando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Calcule 2\int x\,dx. Primeiro \int x\,dx com n=1
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando por 2 (constante que estava fora da integral) obtemos
2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.

Passo 8

Calcule \int 1\,dx. A integral da função constante 1 é a função identidade x, porque \dfrac{d}{dx}x=1. Assim
\int 1\,dx = x.

Passo 9

Some os resultados dos passos anteriores e acrescente a constante de integração C:
\int (x+1)^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x + C.
Esse é um resultado correto e explícito.

Passo 10

Alternativa rápida (substituição): se fizermos u=x+1, então du=dx e a integral fica
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C = \frac{(x+1)^{3}}{3} + C.
Essas duas formas são equivalentes, já que \dfrac{(x+1)^{3}}{3}=\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+x+\dfrac{1}{3}, e a diferença de \dfrac{1}{3} é absorvida pela constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{(x+1)^{3}}{3}+C

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