Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral(12 x+1+3 sen(4 x)) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da soma
integrall(12x+1+3sen(4x)r),dx
Como a integral de uma soma é a soma das integrais, vamos separar em
integral12x+1,dx e integral3sen(4x),dx,
e resolver cada uma usando integração por substituição ou fórmulas conhecidas.

Passo 2

Para integral12x+1,dx, façamos a substituição
u = 2x + 1, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Então
integral12x+1,dx = integral1u,du2 = 12integral u^-1,du = 12lnlvert urvert = 12lnlvert 2x+1rvert

Passo 3

Para integral3sen(4x),dx, fatoramos a constante 3 e usamos a fórmula
integralsen(kx),dx = -1kcos(kx)
Portanto
integral3sen(4x),dx = 3integralsen(4x),dx = 3l(-14cos(4x)r) = -34cos(4x)

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integrall(12x+1+3sen(4x)r),dx = 12lnlvert 2x+1rvert -34cos(4x) + C

Resposta

12lnlvert 2x+1rvert ;-;34cos(4x) ;+;C

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