Usando a trigonometria hiperbólica, calcular a integral
I3=integral0^2 raiz3 d xraiz4+x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
I3=integral0^2raiz3dxraiz4+x^2.
O conteúdo aqui é reconhecimento da forma padrão
integraldxraiza^2+x^2
e aplicação de substituição de trigonometria hiperbólica, usando x=asinh t.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2,sinh t,
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dx = 2,cosh t,dt
e, pelo fato de cosh^2t-sinh^2t=1,
raiz4 + x^2 = raiz4 + 4,sinh^2t = 2,raiz1+sinh^2t = 2,cosh t

Passo 3

Substituindo em I3, o integrando fica
dxraiz4+x^2 = 2,cosh t,dt2,cosh t = dt
Agora trocamos os limites:
  • Quando x=0, temos sinh t=0, isto é, t=0.
  • Quando x=2raiz3, temos sinh t=raiz3, ou seja,
    t=arsinh(raiz3).

Passo 4

A integral passa a ser
I3 = integral0^arsinh(raiz3) dt = arsinh(raiz3)

Passo 5

Usamos a fórmula de arco-senhiperbólico em logaritmo:
arsinh(y) = lnl(y + raizy^2+1r)
Para y=raiz3, obtemos
arsinh(raiz3) = lnl(raiz3 + raiz3+1r) = lnl(raiz3 + 2r)

Resposta

lnl(2 + raiz3r)

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