Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral(1raiz1-9 x^2+65 x-8) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(tfrac1raiz1-9x^2+tfrac65x-8r),dx
O conteúdo central aqui é reconhecer duas formas básicas de antiderivadas:
integral1raiz1-u^2,du=arcsin(u)+C.
integral1u,du=lnlvert urvert +C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
integral1raiz1-9x^2,dx e integral65x-8,dx

Passo 3

Para integral1raiz1-9x^2,dx, note que se fizermos u=3x então du=3,dx, ou dx=tfracdu3. Assim
integral1raiz1-9x^2,dx =integral1raiz1-u^2cdotdu3 =13arcsin(u)+C =13arcsin(3x)+C

Passo 4

Para integral65x-8,dx, tomamos v=5x-8, logo dv=5,dx e dx=tfracdv5. Então
integral65x-8,dx =integral6vcdotdv5 =65integral1v,dv =65lnlvert vrvert +C =65lnllvert5x-8rrvert +C

Resposta

integrall(1raiz1-9x^2+65x-8r),dx =13arcsin(3x)+65lnllvert5x-8rrvert +C

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