Enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo. (b) Explicar a razão pela qual este teorema é Fundamental em Cálculo? (c) Apresentar uma aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede:
(a) apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo;
(b) explicar por que ele é “fundamental” em Cálculo;
(c) dar uma aplicação prática.
O conteúdo envolvido é a relação entre diferenciação e integração.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo tem duas partes complementares:
Parte 1. Seja f contínua em um intervalo [a,b]. Defina
F(x) = integrala^x f(t),dt
Então F é diferenciável em (a,b) e
F'(x) = f(x)
Parte 2. Se F for qualquer antiderivada de f em [a,b] (isto é, F'(x)=f(x)), então
integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a)

Passo 3

Esse teorema é “fundamental” porque estabelece que integração e diferenciação são operações inversas uma da outra. Antes dele, tínhamos apenas definições separadas de integral definida (como limite de somas de Riemann) e de derivada. O Teorema Fundamental do Cálculo mostra que, para funções contínuas, bastam antiderivadas para calcular integrais definidas de forma simples, sem recorrer diretamente a limites de somas.

Passo 4

Aplicação típica: cálculo de área sob curvas. Por exemplo, para calcular
integral0^1 x^2,dx,
basta achar uma antiderivada de f(x)=x^2, que é F(x)=tfracx^33, e aplicar a parte 2:
integral0^1 x^2,dx = F(1)-F(0) = 1^33 - 0^33 = 13

Resposta

(a) Veja a Parte 1 e a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
(b) Porque une diferenciação e integração como operações inversas, permitindo calcular integrais definidas via antiderivadas.
(c) Cálculo de áreas: ex., integral0^1x^2,dx =l[x^3/3r]0^1=1/3.

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