Enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo. (b) Explicar a razão pela qual este teorema é Fundamental em Cálculo? (c) Apresentar uma aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
O enunciado pede:
(a) apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo;
(b) explicar por que ele é “fundamental” em Cálculo;
(c) dar uma aplicação prática.
O conteúdo envolvido é a relação entre diferenciação e integração.
(a) apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo;
(b) explicar por que ele é “fundamental” em Cálculo;
(c) dar uma aplicação prática.
O conteúdo envolvido é a relação entre diferenciação e integração.
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo tem duas partes complementares:
Parte 1. Seja
contínua em um intervalo
. Defina
Então
é diferenciável em
e
Parte 2. Se
for qualquer antiderivada de
em
(isto é,
), então
Passo 3
Esse teorema é “fundamental” porque estabelece que integração e diferenciação são operações inversas uma da outra. Antes dele, tínhamos apenas definições separadas de integral definida (como limite de somas de Riemann) e de derivada. O Teorema Fundamental do Cálculo mostra que, para funções contínuas, bastam antiderivadas para calcular integrais definidas de forma simples, sem recorrer diretamente a limites de somas.
Passo 4
Aplicação típica: cálculo de área sob curvas. Por exemplo, para calcular
basta achar uma antiderivada de
, que é
, e aplicar a parte 2:
Resposta
(a) Veja a Parte 1 e a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
(b) Porque une diferenciação e integração como operações inversas, permitindo calcular integrais definidas via antiderivadas.
(c) Cálculo de áreas: ex., .
(b) Porque une diferenciação e integração como operações inversas, permitindo calcular integrais definidas via antiderivadas.
(c) Cálculo de áreas: ex.,