- (a) Qual é a principal diferença entre a regra de Simpson e a regra trapezoidal? (b) Usando a Regra trapezoidal, calcular a integral da função
sobre o intervalo
, utilizando 10 subintervalos ( 11 pontos na partição).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos entender qual é a diferença conceitual entre a regra de Simpson e a regra trapezoidal, que são dois métodos de integração numérica. Na parte (b) precisamos aproximar a integral de
no intervalo
usando a regra trapezoidal com
subintervalos, ou seja,
pontos igualmente espaçados. Para isso vamos usar a fórmula da regra trapezoidal e explorar a simetria da função.
Passo 2
A regra trapezoidal aproxima a área sob a curva em cada subintervalo por um trapézio: em
a curva é aproximada por uma reta que liga
a
. Já a regra de Simpson usa polinômios de grau dois (parábolas) para aproximar a função em cada par de subintervalos, encaixando uma parábola em três pontos consecutivos. Em geral a regra de Simpson é exata para polinômios até grau
, enquanto a trapezoidal é exata só até grau
.
Passo 3
Para a parte (b) definimos o passo
e os nós
A fórmula da regra trapezoidal com
é
Passo 4
Como
é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, temos para cada
de
a
:
Além disso
Logo todo o somatório que aparece em
é zero, e portanto
Resposta
(a) A regra trapezoidal aproxima cada pedaço da curva por retas (trapézios), enquanto a regra de Simpson aproxima por parábolas em pares de subintervalos, sendo Simpson exato para polinômios até grau
e trapezoidal só até grau
.
(b) Usando a regra trapezoidal com subintervalos em
para
, a aproximação fica
.
(b) Usando a regra trapezoidal com