1. (a) Qual é a principal diferença entre a regra de Simpson e a regra trapezoidal? (b) Usando a Regra trapezoidal, calcular a integral da função f(x)=x^3 sobre o intervalo [-5,5], utilizando 10 subintervalos ( 11 pontos na partição).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos entender qual é a diferença conceitual entre a regra de Simpson e a regra trapezoidal, que são dois métodos de integração numérica. Na parte (b) precisamos aproximar a integral de f(x)=x^3 no intervalo [-5,5] usando a regra trapezoidal com 10 subintervalos, ou seja, 11 pontos igualmente espaçados. Para isso vamos usar a fórmula da regra trapezoidal e explorar a simetria da função.

Passo 2

A regra trapezoidal aproxima a área sob a curva em cada subintervalo por um trapézio: em [xi,xi+1] a curva é aproximada por uma reta que liga l(xi,f(xi)r) a l(xi+1,f(xi+1)r). Já a regra de Simpson usa polinômios de grau dois (parábolas) para aproximar a função em cada par de subintervalos, encaixando uma parábola em três pontos consecutivos. Em geral a regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3, enquanto a trapezoidal é exata só até grau 1.

Passo 3

Para a parte (b) definimos o passo
h = 5 - (-5)10 = 1,
e os nós
xi = -5 + i,h, i=0,1,dots,10
A fórmula da regra trapezoidal com n=10 é
T10 = hl(tfrac12 f(x0) + f(x1) + f(x2) + cdots + f(x9) + tfrac12 f(x10)r)

Passo 4

Como f(x)=x^3 é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, temos para cada i de 1 a 9:
f(xi) + f(x10-i) = (xi)^3 + (-xi)^3 = 0
Além disso
f(x0) + f(x10) = (-5)^3 + 5^3 = -125 +125 = 0
Logo todo o somatório que aparece em T10 é zero, e portanto
T10 = 1 times 0 = 0

Resposta

(a) A regra trapezoidal aproxima cada pedaço da curva por retas (trapézios), enquanto a regra de Simpson aproxima por parábolas em pares de subintervalos, sendo Simpson exato para polinômios até grau 3 e trapezoidal só até grau 1.
(b) Usando a regra trapezoidal com 10 subintervalos em [-5,5] para f(x)=x^3, a aproximação fica 0.

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