Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral cos ^4(x) sen(x) d x
Dica: Use o método da substituição.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral cos^4(x),sin(x),dx, usando o método de substituição. Vamos aplicar conceitos de integração de potências de funções trigonométricas e troca de variáveis.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = cos(x). Então, ao derivar, temos du = -sin(x),dx, ou seja, sin(x),dx = -,du.

Passo 3

Substituindo na integral, trocamos cos^4(x) por u^4 e sin(x),dx por -du:
integral cos^4(x),sin(x),dx = integral u^4 l(-dur) = -integral u^4,du

Passo 4

Agora basta integrar a potência de u. Lembrando que integral u^n,du = u^n+1n+1+C:
-integral u^4,du = -u^55 + C

Passo 5

Por fim, voltamos para a variável x, substituindo u = cos(x):
-u^55 + C = -cos^5(x)5 + C

Resposta

-\frac{\cos^5(x)}{5} + C

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