Determine os seguintes limites, caso existam.
lim x -3 x^3+x^2-9 x-9x^2+x-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \
limxto -3 x^3 + x^2 - 9x - 9x^2 + x - 6
Esse é um limite de função racional. Vamos precisar verificar se ocorre indeterminação e então fatorar os polinômios para simplificar.

Passo 2

Substituindo diretamente x=-3 temos no numerador
(-3)^3 + (-3)^2 - 9(-3) - 9 = -27 + 9 + 27 - 9 = 0
e no denominador
(-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0
Logo é uma forma indeterminada 0/0, então precisamos fatorar.

Passo 3

Fatorando o numerador em bloco:
x^3 + x^2 - 9x - 9 = x^2(x+1) - 9(x+1) = (x^2-9)(x+1) = (x-3)(x+3)(x+1)

Passo 4

Fatorando o denominador em bloco:
x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)

Passo 5

Como ambos têm o fator comum x+3, podemos cancelar (para xneq -3) e obter a função simplificada
x^3 + x^2 - 9x - 9x^2 + x - 6 = (x-3)(x+3)(x+1)(x+3)(x-2) = (x-3)(x+1)x-2

Passo 6

Agora o limite já pode ser calculado por substituição direta em (x-3)(x+1)x-2:
limxto -3 (x-3)(x+1)x-2 = (-3-3)(-3+1)-3-2 = (-6)(-2)-5 = -125

Resposta

-\n12/5

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