Determine volume de cada sólido descrito abaixo.
Sólido limitado pelo pelo cilindro y^2+z^2=4 e pelos planos x=2 y, x=0 e z=0 no primeiro octante.

Passo 1

Temos um sólido no primeiro octante (x≥0, y≥0, z≥0) limitado pelo cilindro y^2+z^2=4 e pelos planos x=0, x=2y e z=0. O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para desenhar a projeção no plano yz, note que y^2+z^2<=4 com y>=0 e z>=0. Assim y varia de 0 a 2 e, para cada y, z vai de 0 até raiz4-y^2. Para cada ponto (y,z) desse, x vai de 0 até 2y.

Passo 3

Podemos então escrever o volume como a integral tripla
V = integraly=0^2 integralz=0^raiz4-y^2 integralx=0^2y 1 ,dx,dz,dy

Passo 4

Primeiro integramos em x:
integralx=0^2y1,dx = 2y,
ficando
V = integraly=0^2 integralz=0^raiz4-y^2 2y ,dz,dy = integraly=0^2 2yl(raiz4-y^2r),dy

Passo 5

Para calcular integral0^22yraiz4-y^2 ,dy fazemos a substituição u=4-y^2, du=-2y,dy. Quando y=0, u=4; quando y=2, u=0. Assim
integral0^22yraiz4-y^2 ,dy = integralu=4^0 raizu ,(-du) = integral0^4 u^1/2 ,du = 23u^3/2|0^4 = 23cdot 8 = 163

Resposta

V = tfrac163.

Exercícios relacionados