Em cada caso, esboce a região e calcule sua área.
(b) região delimitada pelas curvas r=2, theta=pi / 4 e theta=pi / 2. (resp. A=pi / 2 );

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares limitada pelo círculo r=2 e pelos raios theta=pi/4 e theta=pi/2. O conteúdo é área em coordenadas polares, usando a fórmula dupla
A=integral duplaRr,dr,dtheta

Passo 2

Esboçamos o círculo de raio 2 centrado na origem e os raios nos ângulos theta=pi/4 e theta=pi/2. A região é um setor circular de raio 2 e ângulo de abertura
De<atheta = pi2-pi4 = pi4

Passo 3

Montamos a integral em coordenadas polares:
A = integraltheta=pi/4^pi/2integralr=0^2 r ,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^2r,dr = r^22|0^2 = 2
Assim
A = integralpi/4^pi/22,dtheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
A = 2l(pi2-pi4r) = 2cdotpi4 = pi2

Resposta

A área da região é pi2.

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