Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral raiz[3]1+3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raiz[3]1+3x,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição e a regra da potência para integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 3x,
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du = 3,dx Longrightarrow dx = du3
A integral fica
integral raiz[3]1+3x,dx = integral u^tfrac13cdotdu3 = 13integral u^tfrac13,du

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência para integrais:
integral u^tfrac13,du = u^tfrac13+1tfrac13+1 = u^tfrac43tfrac43 = 34,u^tfrac43
Portanto,
13integral u^tfrac13,du = 13cdot34,u^tfrac43 = 14,u^tfrac43

Passo 4

Voltando à variável original x, temos u = 1+3x. Logo a primitiva é
14,(1+3x)^tfrac43 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral raiz[3]1+3x,dx = 14,(1+3x)^tfrac43 + C

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