Simplificar o máximo possível a funcão f: R R definida por
f(x)=ln cosh (x)+sinh (x)+ln cosh (x)-sinh (x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=lncosh(x)+sinh(x)+lncosh(x)-sinh(x)
Queremos simplificar essa expressão usando duas ideias: a propriedade dos logaritmos
ln(a)+ln(b)=ln(ab)
e a identidade das funções hiperbólicas
cosh^2(x)-sinh^2(x)=1.

Passo 2

Aplicando a soma de logaritmos:
f(x) =lnl((cosh(x)+sinh(x))(cosh(x)-sinh(x))r)

Passo 3

Dentro do logaritmo temos
(cosh(x)+sinh(x))(cosh(x)-sinh(x)) =cosh^2(x)-sinh^2(x)=1,
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f(x)=ln(1)=0

Resposta

Para todo xinR,
f(x)=0

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