Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral(x^2+1+xx^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integrall(x^2+1+tfracxx^2+1r),dx. O conteúdo é integrais indefinidas, em que vamos usar propriedades de linearidade, regra de potência e substituição.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de linearidade para separar em três integrais:
integrall(x^2+1+tfracxx^2+1r),dx = integral x^2,dx + integral 1,dx + integral xx^2+1,dx

Passo 3

Para as duas primeiras integrais, usamos a regra de potência:
integral x^2,dx = x^33, integral 1,dx = x

Passo 4

Para a terceira integral, fazemos a substituição u = x^2+1. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12du. Assim:
integral xx^2+1,dx = integral 1ucdot12,du = 12integral duu = 12ln|u| = 12ln(x^2+1)

Passo 5

Agora basta somar todos os resultados e incluir a constante de integração C:
integrall(x^2+1+tfracxx^2+1r),dx = x^33 + x + 12ln(x^2+1) + C

Resposta

x^33 + x + 12ln(x^2+1) + C

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