Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(i) h(x, y)=2 x+y4 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(x, y) = \frac{2x + y}{4x + 1} $. Isso significa que precisamos calcular h(x, y) = 2x + y4x + 1 e partial hpartial x. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções racionais, especificamente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, h . A função $ h(x, y) $ é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de $ x $. A regra do quociente nos ajuda a derivar isso.
A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{f(x)}{g(x)} $, então a derivada é:
x

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, identifiquemos $ f(x, y) = 2x + y $ e $ g(x) = 4x + 1 $.
Primeiro, derivamos $ f $ em relação a $ x $:
f(x, y) = 2x + y
Depois, derivamos $ g $ em relação a $ x $:
g(x) = 4x + 1

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
partial hpartial x = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 = 2(4x + 1) - (2x + y)(4)(4x + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
2(4x + 1) = 8x + 2
(2x + y)(4) = 8x + 4y
Então:
8x + 2 - 8x - 4y = 2 - 4y

Passo 5

Substituindo de volta na derivada:
partial hpartial x = 2 - 4y(4x + 1)^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, h .
Como a função $ h(x, y) = \frac{2x + y}{4x + 1} $, vemos que o denominador $ 4x + 1 $ não depende de $ y $, então a derivada fica mais simples.

Passo 7

Derivando em relação a $ y $:
y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(x, y) = \frac{2x + y}{4x + 1} $ são:
h(x, y) = 2x + y4x + 1
e
partial hpartial x = 2 - 4y(4x + 1)^2

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