Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(i)
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(x, y) = \frac{2x + y}{4x + 1} $. Isso significa que precisamos calcular
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções racionais, especificamente a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja,
. A função $ h(x, y) $ é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de $ x $. A regra do quociente nos ajuda a derivar isso.
A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{f(x)}{g(x)} $, então a derivada é:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, identifiquemos $ f(x, y) = 2x + y $ e $ g(x) = 4x + 1 $.
Primeiro, derivamos $ f $ em relação a $ x $:
Depois, derivamos $ g $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 5
Substituindo de volta na derivada:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja,
.
Como a função $ h(x, y) = \frac{2x + y}{4x + 1} $, vemos que o denominador $ 4x + 1 $ não depende de $ y $, então a derivada fica mais simples.
Passo 7
Derivando em relação a $ y $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(x, y) = \frac{2x + y}{4x + 1} $ são:
e