Determine as derivadas parciais indicadas:
© h(x, y)=-3 x e^y+sen^2(x-y) ; partial hpartial x e partial hpartial y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais da função $ h(x, y) = -3x e^{y} + \sin^{2}(x - y) $ em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais, que são as taxas de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante. Precisaremos aplicar regras básicas de derivação, como a derivada de funções exponenciais e trigonométricas, além da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $.
A função é:
h
Vamos derivar termo a termo em relação a $ x $.

Passo 3

Primeiro, derivamos o termo $ -3x e^{y} $ em relação a $ x $:
  • A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
  • $ e^{y} $ é considerado uma constante em relação a $ x $.
Portanto:
-3x e^y

Passo 4

Agora, vamos derivar o termo $ \sin^{2}(x - y) $ em relação a $ x $:
  • Use a regra da cadeia: a derivada de $ \sin^{2}(u) $ em relação a $ u $ é $ 2\sin(u)\cos(u) $.
  • Aqui, $ u = x - y $. A derivada de $ u $ em relação a $ x $ é 1.
Portanto:
sin^2(x - y)

Passo 5

Juntando as derivadas dos dois termos, temos:
partial hpartial x = -3 e^y + 2sin(x - y)cos(x - y)
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica $ 2\sin(a)\cos(a) = \sin(2a) $:
2sin(a)cos(a) = sin(2a)

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $.
Voltando à função:
h
Derivamos termo a termo em relação a $ y $.

Passo 7

Primeiro, derivamos o termo $ -3x e^{y} $ em relação a $ y $:
  • A derivada de $ e^{y} $ em relação a $ y $ é $ e^{y} $.
  • $ -3x $ é considerado uma constante em relação a $ y $.
Portanto:
-3x e^y

Passo 8

Agora, vamos derivar o termo $ \sin^{2}(x - y) $ em relação a $ y $:
  • Use a regra da cadeia: a derivada de $ \sin^{2}(u) $ em relação a $ u $ é $ 2\sin(u)\cos(u) $.
  • Aqui, $ u = x - y $. A derivada de $ u $ em relação a $ y $ é $ -1 $.
Portanto:
sin^2(x - y)

Passo 9

Juntando as derivadas dos dois termos, temos:
partial hpartial y = -3x e^y - 2sin(x - y)cos(x - y)
Utilizando a identidade trigonométrica $ 2\sin(a)\cos(a) = \sin(2a) $:
2sin(a)cos(a) = sin(2a)

Resposta

As derivadas parciais de $ h(x, y) $ são:
h(x, y)
e
partial hpartial x = -3 e^y + sin(2(x - y))

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