Determine as derivadas parciais indicadas:
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e
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais da função $ h(x, y) = -3x e^{y} + \sin^{2}(x - y) $ em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais, que são as taxas de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante. Precisaremos aplicar regras básicas de derivação, como a derivada de funções exponenciais e trigonométricas, além da regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $.
A função é:
Vamos derivar termo a termo em relação a $ x $.
Passo 3
Primeiro, derivamos o termo $ -3x e^{y} $ em relação a $ x $:
- A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
- $ e^{y} $ é considerado uma constante em relação a $ x $.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar o termo $ \sin^{2}(x - y) $ em relação a $ x $:
- Use a regra da cadeia: a derivada de $ \sin^{2}(u) $ em relação a $ u $ é $ 2\sin(u)\cos(u) $.
- Aqui, $ u = x - y $. A derivada de $ u $ em relação a $ x $ é 1.
Portanto:
Passo 5
Juntando as derivadas dos dois termos, temos:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica $ 2\sin(a)\cos(a) = \sin(2a) $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $.
Voltando à função:
Derivamos termo a termo em relação a $ y $.
Passo 7
Primeiro, derivamos o termo $ -3x e^{y} $ em relação a $ y $:
- A derivada de $ e^{y} $ em relação a $ y $ é $ e^{y} $.
- $ -3x $ é considerado uma constante em relação a $ y $.
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos derivar o termo $ \sin^{2}(x - y) $ em relação a $ y $:
- Use a regra da cadeia: a derivada de $ \sin^{2}(u) $ em relação a $ u $ é $ 2\sin(u)\cos(u) $.
- Aqui, $ u = x - y $. A derivada de $ u $ em relação a $ y $ é $ -1 $.
Portanto:
Passo 9
Juntando as derivadas dos dois termos, temos:
Utilizando a identidade trigonométrica $ 2\sin(a)\cos(a) = \sin(2a) $:
Resposta
As derivadas parciais de $ h(x, y) $ são:
e