Determine as derivadas parciais indicadas:
(g) f(x, y)=ln (y x^2+y^2) ; fx(1,1).

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) = \ln(yx^{2} + y^{2}) $ em relação a $ x $ no ponto $ (1,1) $. A matéria aqui é cálculo, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da derivada de funções compostas e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} $. Aqui, nossa $ u $ é $ yx^{2} + y^{2} $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u = yx^{2} + y^{2} $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratado como uma constante ao derivar em relação a $ x $, temos:
u = yx^2 + y^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na derivada de $ f $:
f

Passo 5

Agora, substituímos o ponto $ (1,1) $ na expressão da derivada:
(1,1)

Resposta

$ f_{x}(1,1) = 1 $

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