Determine as derivadas parciais indicadas:
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) = \ln(yx^{2} + y^{2}) $ em relação a $ x $ no ponto $ (1,1) $. A matéria aqui é cálculo, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da derivada de funções compostas e a derivada do logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} $. Aqui, nossa $ u $ é $ yx^{2} + y^{2} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u = yx^{2} + y^{2} $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratado como uma constante ao derivar em relação a $ x $, temos:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na derivada de $ f $:
Passo 5
Agora, substituímos o ponto $ (1,1) $ na expressão da derivada:
Resposta
$ f_{x}(1,1) = 1 $