Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral x e^4 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral x e^4x,dx. Esse tipo de integral é resolvido com integração por partes, já que temos um produto de funções (uma polinomial e uma exponencial).

Passo 2

Na integração por partes usamos a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du. Aqui, vamos escolher u = x e dv = e^4x,dx. Derivando u e integrando dv obtemos:
du = dx
v = integral e^4x,dx = tfrac14e^4x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, substituímos u, v, du e dv:
integral x e^4x,dx = x cdot 14e^4x - integral 14e^4x,dx

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral integral e^4x,dx. Usando integral e^ax,dx = tfrac1ae^ax, temos:
integral e^4x,dx = 14e^4x

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta, ficamos com:
integral x e^4x,dx = x e^4x4 - 14 cdot 14e^4x + C = x e^4x4 - e^4x16 + C

Resposta

x e^4x4 - e^4x16 + C

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