Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função $ f(x) = e^{2x} $ no ponto $ c = 0 $. Além disso, vamos verificar se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos precisar lembrar como construir uma série de Taylor e entender o que significa ser uma função analítica.
Passo 2
Primeiro, o que é uma série de Taylor? É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto específico $ c $. A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ c $ é:
Aqui, $ f^{(n)}© $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{2x} $ e avaliá-las em $ c = 0 $.
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Primeira derivada:
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Segunda derivada:
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Terceira derivada:
E assim por diante. Vemos que a $ n $-ésima derivada é:
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores que encontramos. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Escrevendo os primeiros termos, a série fica assim:
Passo 6
Agora, sobre a função ser analítica em $ c = 0 $. Uma função é analítica em um ponto se a sua série de Taylor nesse ponto converge para a função em algum intervalo ao redor desse ponto. No caso de $ f(x) = e^{2x} $, a série de Taylor que construímos converge para $ e^{2x} $ para todo $ x $. Isso significa que $ f(x) $ é uma função analítica em $ c = 0 $.
Resposta
A série de Taylor para $ f(x) = e^{2x} $ no ponto $ c = 0 $ é:
Além disso, a função $ f(x) = e^{2x} $ é analítica em $ c = 0 $.