Ache a solução das EDOs, a seguir, usando o Método de Variação de Parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Vamos usar o Método de Variação de Parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de EDOs lineares não homogêneas. Para isso, precisamos entender a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o método para encontrar uma solução específica para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos usar o Método de Variação de Parâmetros, que envolve encontrar funções
e
tal que:
Para isso, precisamos calcular
e
usando as seguintes fórmulas:
Onde:
-
-
-
-
é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano
:
Simplificando:
Então,
.
Passo 5
Com o Wronskiano calculado, encontramos
e
:
Agora, precisamos integrar essas expressões para encontrar
e
.
Passo 6
Vamos integrar
:
Sabemos que
, então:
A integral fica:
Agora, vamos integrar
:
Simplificando:
A integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão da solução particular:
Simplificando
:
Então, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.