Ache a solução das EDOs, a seguir, usando o Método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime+9 y=9 sec ^2(3 x) ; 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
y'' + 9y = 9 sec^2(3x) ; 0 < x < pi6
Vamos usar o Método de Variação de Parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de EDOs lineares não homogêneas. Para isso, precisamos entender a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o método para encontrar uma solução específica para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, que é:
y'' + 9y = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 + 9 = 0 implies r = pm 3i
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
yh = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
y'' + 9y = 9 sec^2(3x)
Vamos usar o Método de Variação de Parâmetros, que envolve encontrar funções u1(x) e u2(x) tal que:
yp = u1(x) cos(3x) + u2(x) sin(3x)
Para isso, precisamos calcular u1'(x) e u2'(x) usando as seguintes fórmulas:
u1' = -y2 cdot f(x)W e u2' = y1 cdot f(x)W
Onde:
  • y1 = cos(3x)
  • y2 = sin(3x)
  • f(x) = 9 sec^2(3x)
  • W é o Wronskiano das soluções homogêneas.

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano W:
W = y1 y2' - y2 y1' = cos(3x) cdot 3 cos(3x) - sin(3x) cdot (-3 sin(3x)) = 3 cos^2(3x) + 3 sin^2(3x)
Simplificando:
W = 3 (cos^2(3x) + sin^2(3x)) = 3 cdot 1 = 3
Então, W = 3.

Passo 5

Com o Wronskiano calculado, encontramos u1' e u2':
u1' = -sin(3x) cdot 9 sec^2(3x)3 = -3 sin(3x) sec^2(3x)
u2' = cos(3x) cdot 9 sec^2(3x)3 = 3 cos(3x) sec^2(3x)
Agora, precisamos integrar essas expressões para encontrar u1 e u2.

Passo 6

Vamos integrar u1':
u1 = integral -3 sin(3x) sec^2(3x) , dx
Sabemos que sec(3x) = 1cos(3x), então:
sin(3x) sec^2(3x) = sin(3x)cos^2(3x) = tan(3x) sec(3x)
A integral fica:
u1 = -3 integral tan(3x) sec(3x) , dx = -sec(3x) + C1
Agora, vamos integrar u2':
u2 = integral 3 cos(3x) sec^2(3x) , dx
Simplificando:
3 cos(3x) sec^2(3x) = 3 cdot 1cos(3x) = 3 sec(3x)
A integral fica:
u2 = 3 integral sec(3x) , dx = ln |sec(3x) + tan(3x)| + C2

Passo 7

Agora, substituímos u1 e u2 na expressão da solução particular:
yp = u1 cos(3x) + u2 sin(3x) = -sec(3x) cos(3x) + ln |sec(3x) + tan(3x)| sin(3x)
Simplificando -sec(3x) cos(3x):
-sec(3x) cos(3x) = -1
Então, a solução particular fica:
yp = -1 + ln |sec(3x) + tan(3x)| sin(3x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) - 1 + ln |sec(3x) + tan(3x)| sin(3x)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados