Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral 4 x^3 raizx^4+1 d x
Dica: Use o método da substituição.

Passo 1

Temos a integral indefinida integral 4x^3raizx^4+1,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos precisar reconhecer que a derivada de x^4+1 aparece praticamente inteira no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^4 + 1. Calculando o diferencial, temos du = 4x^3,dx, ou seja, o pedaço 4x^3,dx do nosso integrando se transforma em du. Substituindo na integral, obtemos
integral 4x^3raizx^4+1,dx = integral raizu,du

Passo 3

Agora precisamos calcular integral u^1/2,du. Pela fórmula de potência para antiderivadas:
integral u^1/2,du = u^3/2tfrac32 + C = 23u^3/2 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = x^4+1. Assim, a antiderivada fica:
23(x^4+1)^3/2 + C

Resposta

23(x^4+1)^3/2 + C

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