Derivar e Siuplificar
y=arc tg x+a1-a x

Passo 1

Primeiro, resumindo: queremos derivar a função y = arctanl(tfracx+a1 - a xr). Esse problema envolve derivada de funções compostas, em particular a derivada de arctan(u) e o uso da regra do quociente.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia: se y = arctan(u(x)), então
y' = u'1+u^2
Definimos
u(x) = x+a1 - a x

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra do quociente:
u'(x) = (1),(1 - a x) - (x+a),(-a)(1 - a x)^2 = 1 - a x + a(x + a)(1 - a x)^2 = 1 + a^2(1 - a x)^2

Passo 4

Computamos 1 + [u(x)]^2:
1 + u(x)^2 = 1 + (x+a)^2(1 - a x)^2 = (1 - a x)^2 + (x + a)^2(1 - a x)^2 = (1 + a^2)(1 + x^2)(1 - a x)^2

Passo 5

Substituímos u'(x) e 1 + u(x)^2 em y' = u'1+u^2, obtendo
y' = 1 + a^2(1 - a x)^2(1 + a^2)(1 + x^2)(1 - a x)^2
Agora, podemos cancelar (1 + a^2) e (1 - a x)^2 no numerador e denominador.

Resposta

y' = 11 + x^2

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