Derivar e Siuplificar
y=1x+2 log e x-log e xx

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y=1x+2ln x-ln xx. O conteúdo é derivação de funções elementares: regra de potência, derivada de ln x e regra do produto (já que tfracln xx=x^-1ln x). Vamos usar esses conceitos para obter y'.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos y em potências para facilitar: y=x^-1+2ln x -x^-1ln x. Assim fica claro que o último termo é produto de x^-1 por ln x.

Passo 3

Agora derivamos cada termo separadamente. Pela regra de potência ddxx^n = n x^n-1, temos
ddx(x^-1)=-x^-2.
Pela derivada do logaritmo ddx(ln x)=1x, temos
ddx(2ln x)=2cdot1x=2x.

Passo 4

Para derivar x^-1ln x usamos a regra do produto: se u=x^-1 e v=ln x, então
u'=-x^-2 e v'=1/x,
então
ddx(x^-1ln x)=u'v+uv'=(-x^-2)(ln x)+x^-1cdot1x=-x^-2ln x + x^-2.

Passo 5

Juntando tudo, temos
$$y’=-x{-2}+\frac{2}{x}-\bigl(-x{-2}\ln x + x{-2}\bigr)=-x{-2}+\frac{2}{x}+x^{-2}\ln x - x^{-2}.
$$

Passo 6

Agora somamos os termos semelhantes em x^-2 e colocamos tudo sobre o denominador comum x^2. Note que 2/x=2x/x^2. Assim,
y' = 2xx^2 + ln xx^2 - 2x^2 = 2x + ln x -2x^2

Resposta

y'=2x + ln x - 2x^2

Exercícios relacionados