Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral(x^2-3 x+2) sen(x) d x (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral(x^2 - 3x + 2),sin(x),dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos precisar escolher adequadamente u e dv, derivar o polinômio e integrar sin(x).

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação de integração por partes:
u = x^2 - 3x + 2, dv = sin(x),dx
Então
du = (2x - 3),dx, v = integral sin(x),dx = -cos(x)
Aplicando a fórmula:
integral(x^2 - 3x + 2),sin(x),dx = u,v - integral v,du = -(x^2 - 3x + 2)cos(x) - integrall(-cos(x)r)(2x - 3),dx
Isso dá
integral(x^2 - 3x + 2),sin(x),dx = -(x^2 - 3x + 2)cos(x) + integral(2x - 3)cos(x),dx

Passo 3

Agora temos integral(2x - 3)cos(x),dx. Aplicamos integração por partes de novo:
u = 2x - 3, dv = cos(x),dx,
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$$du = 2,dx, \quad v = \int \cos(x),dx = \sin(x).
du = 2,dx, v = integral cos(x),dx = sin(x) ó
\int(2x - 3)\cos(x),dx = (2x - 3)\sin(x) - \int \sin(x),2,dx = (2x - 3)\sin(x) - 2\int \sin(x),dx.
integral(2x - 3)cos(x),dx = (2x - 3)sin(x) - integral sin(x),2,dx = (2x - 3)sin(x) - 2integral sin(x),dx
\int(2x - 3)\cos(x),dx = (2x - 3)\sin(x) + 2\cos(x).
$$

Passo 4

Juntando esse resultado com o da primeira parte:
integral(x^2 - 3x + 2),sin(x),dx = -(x^2 - 3x + 2)cos(x) + l[(2x - 3)sin(x) + 2cos(x)r] + C
Agora simplificamos os termos em cos(x):
-(x^2 - 3x + 2)cos(x) + 2cos(x) = -(x^2 - 3x)cos(x)
Logo, a expressão final fica
-(x^2 - 3x)cos(x) + (2x - 3)sin(x) + C

Resposta

-(x^2 - 3x)cos(x) + (2x - 3)sin(x) + C

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