Calcule as integrais indefinidas abaixo:
(2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula:
Vamos precisar escolher adequadamente
e
, derivar o polinômio e integrar
.
Passo 2
Escolhemos na primeira aplicação de integração por partes:
Então
Aplicando a fórmula:
Isso dá
Passo 3
Agora temos
. Aplicamos integração por partes de novo:
logo
$$du = 2,dx, \quad v = \int \cos(x),dx = \sin(x).
\int(2x - 3)\cos(x),dx = (2x - 3)\sin(x) - \int \sin(x),2,dx = (2x - 3)\sin(x) - 2\int \sin(x),dx.
\int(2x - 3)\cos(x),dx = (2x - 3)\sin(x) + 2\cos(x).
$$
Passo 4
Juntando esse resultado com o da primeira parte:
Agora simplificamos os termos em
:
Logo, a expressão final fica