lim x 0^+(1x-1tg^-1 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com Limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com arctan x = x - x^33 + x^55 - dots quando arctan x approx x - x^33 está bem perto de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , pode ser aproximada pela sua série de Taylor. A série de Taylor de em torno de 0 é:
Para simplificar, vamos considerar apenas os dois primeiros termos dessa expansão:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do limite:
1x - 1arctan x approx 1x - 1x - x^33
Para simplificar a segunda fração, fatoramos 1x - x^33 = 1x(1 - x^23) = 1x cdot 11 - x^23 no denominador:
11 - x^23 approx 1 + x^23
Usando a aproximação 1x - x^33 approx 1x (1 + x^23) para pequeno, temos:
Portanto:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do limite:
1x - 1arctan x approx 1x - 1x(1 + x^23) = 1x - 1x - x3 = -x3
Agora, queremos saber o que acontece com quando se aproxima de 0.

Passo 5

À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, pois estamos multiplicando um número muito pequeno (próximo de zero) por .

Resposta

O limite tende a 0.

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