Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos trabalhando com Limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
está bem perto de 0. Sabemos que, para valores pequenos de
,
pode ser aproximada pela sua série de Taylor. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Para simplificar, vamos considerar apenas os dois primeiros termos dessa expansão:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do limite:
Para simplificar a segunda fração, fatoramos
no denominador:
Usando a aproximação
para
pequeno, temos:
Portanto:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão do limite:
Agora, queremos saber o que acontece com
quando
se aproxima de 0.
Passo 5
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, pois estamos multiplicando um número muito pequeno (próximo de zero) por
.
Resposta
O limite tende a 0.