Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral 4 xraiz3+x^2 d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral indefinida integral 4xraiz3 + x^2,dx. O conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar usar a mudança de variável para simplificar a raiz.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = 3 + x^2. Então du = 2x,dx, ou seja, 4x,dx = 2,du. Essa técnica se baseia na regra de substituição para integrais, que diz que podemos trocar x por u quando sabemos relacionar du com dx. Reescrevendo a integral em termos de u temos:
integral 4xraiz3 + x^2,dx = integral 2,duraizu

Passo 3

Agora usamos a potência de u: u^-1/2. Então
integral 2,u^-1/2,du = 2 integral u^-1/2,du = 2 cdot u^1/21/2 + C = 4,u^1/2 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 3 + x^2.

Resposta

4raiz3 + x^2 + C

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